Формула Симпсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Суть метода — аппроксимация функции f (x) (синий график) квадратичным полиномом P (x) (красный)

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формула[править | править вики-текст]

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где , и  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность[править | править вики-текст]

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутты[править | править вики-текст]

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

Составная формула (формула Котеса)[править | править вики-текст]

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждой соседней паре из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где  — величина шага, а  — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на отрезков) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум.

Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле[2]:

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Формула Ньютона-Симпсона
  2. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 4-е изд. — М: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. — С. 122. — 636 с. — ISBN 5-94774-396-5.

Литература[править | править вики-текст]

  • Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
  • Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике