Интеграл Курцвейля — Хенстока

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.

История[править | править вики-текст]

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае было дано Арно Данжуа в 1912 году, он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции . Функция определена и конечна во всех точках (кроме 0), но не интегрируема по Лебегу. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона и тем самым, в одномерном случае, покрывает интеграл Лебега.

По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы ввести его в программу начального курса математического анализа, но пока эта идея частично реализована лишь на механико-математических факультетах Московского государственного университета и Саратовского государственного университета.

Определение[править | править вики-текст]

Для определения интеграла Курцвейля — Хенстока вводится несколько промежуточных понятий:

  • калибровочная функция — произвольная функция ;
  • оснащённое разбиение отрезка  — конечный набор пар , где и ;
  • оснащённое разбиение называется -тонким, если при всех от до ;
  • для оснащённого размеченного разбиения и функции суммой Римана называется выражение:
    .

Функция называется интегрируемой по Курцвейлю — Хенстоку на отрезке , если существует число (называемое интегралом Курцвейля — Хенстока от функции на отрезке ), обладающее следующим свойством: для любого существует такая калибровочная функция , что для любого -тонкого оснащённого разбиения имеет место неравенство .

Существование -тонких оснащённых разбиений для данной калибровочной функции следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля — Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]