Стохастический интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стохастический интеграл - интеграл вида , где - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции[править | править вики-текст]

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм . Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, переходом к пределу: .

Стохастический интеграл от стохастического процесса[править | править вики-текст]

Рассмотрим интеграл , где - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками на подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: , или . Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: . Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой: , при . Интеграл соответствует интегралу Ито, а совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича[править | править вики-текст]

Интеграл Стратоновича имеет вид: .

Интеграл Ито[править | править вики-текст]

Интеграл Ито имеет вид: . Его основные свойства: , .

Интеграл Винера[править | править вики-текст]

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции . Интеграл вида называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: . Его основные свойства: , .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред. Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
  • Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.