Трапеция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Trapezoid.svg

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения[править | править вики-текст]

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Приведённые ниже формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Элементы трапеции[править | править вики-текст]

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
  • Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций[править | править вики-текст]

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства[править | править вики-текст]

Основной источник: [6]
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
  • Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
  • Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
  • Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
  • Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно .
  • Высота трапеции определяется формулой:
где  — большее основание,  — меньшее основание, и  — боковые стороны.
  • Диагонали трапеции и связаны со сторонами соотношением:
Их можно выразить в явном виде:
Если же известна высота , то

Свойства и признаки равнобедренной трапеции[править | править вики-текст]

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любой из следующий эквивалентных условий:

  • прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
  • высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
  • углы при любом основании равны;
  • сумма противоположных углов равна 180°;
  • длины диагоналей равны;
  • вокруг этой трапеции можно описать окружность;
  • вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

  • если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность[править | править вики-текст]

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
  • В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
  • Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
  • Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 385 дней]
где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — диагонали равнобедренной трапеции.
  • Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
  • Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и  — то .

Площадь[править | править вики-текст]

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • В случае, если и  — основания и  — высота, формула площади:
  • В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

  • Формула, где  — основания, и  — боковые стороны трапеции:
или
  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
  • Площадь равнобедренной трапеции:
где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.[7].
  • Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
  2. Вся элементарная математика
  3. Wolfram MathWorld
  4. Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
  5. М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
  6. Четырёхугольники.
  7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184