Трапеция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Trapezoid.svg

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, только две противоположные стороны которого параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Элементы трапеции[править | править вики-текст]

Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций[править | править вики-текст]

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией.
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства[править | править вики-текст]

  • Высота трапеции опредляется формулой:
 h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}
где  b - большее основание,  a - меньшее основание,  c и  d - боковые стороны.
  • Диагонали трапеции  d_1 и  d_2 связаны со сторонами соотношением:
d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2
Их можно выразить в явном виде:
 d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}
 d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}
Если же известна высота  h , то
d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}
d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен \frac{2xy}{x+y} среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
  • Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
  • Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
  • Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
  • Если отношение оснований равно K, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно K^2.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции[править | править вики-текст]

  • Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  • Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований
  • Углы при любом основании равны.
  • Сумма противоположных углов равна 180°
  • Длины диагоналей равны.
  • Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность[править | править вики-текст]

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
  • В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
  • Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
  • Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:
R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}
где p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \,   c — боковая сторона, b — бо́льшее основание, a — меньшее основание,  d_1=d_2 - диагонали равнобедренной трапеции.
  • Если a+b=2c , то можно в трапецию вписать окружность радиусом
r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}
  • Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — v и w — то r = \sqrt{vw}.

Площадь[править | править вики-текст]

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • В случае, если a и b — основания и h — высота, формула площади:
S= \frac{(a+b)}{2}h
  • В случае, если m — средняя линия и h — высота, формула площади:
S= \displaystyle m h

* Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

m= \frac{ (a+b) }{2}
  • Формула, где a<b — основания, c и d — боковые стороны трапеции:
S=\frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.
или
S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}
  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r, и углом при основании \alpha:
S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}
  • Площадь равнобедренной трапеции:
S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}
где c — боковая сторона, b — бо́льшее основание, a — меньшее основание, \gamma — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной. [1].
  • Площадь равнобедренной трапеции через ее стороны
S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2}

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184