Триакисикосаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Триакисикосаэдр
Triakisicosahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип каталаново тело
Свойства выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы
60 граней

90 рёбер
32 вершины

Грани равнобедренные треугольники:
Грань триакисикосаэдра
Конфигурация вершины 20(33)
12(310)
Конфигурация грани V3.10.10
Развёртка
Triakisicosahedron net.png
Двойственный многогранник усечённый додекаэдр
Классификация
Обозначения kI
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Commons-logo.svg Триакисикосаэдр на Викискладе

Триакисикоса́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен а два других

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими острыми углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакисикосаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра икосаэдра) и 60 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромботриаконтаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Триакисикосаэдр можно получить из икосаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани икосаэдра, и высотой, которая в раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 20 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисикосаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики[править | править код]

Если «короткие» рёбра триакисикосаэдра имеют длину , то его «длинные» рёбра имеют длину а площадь поверхности и объём выражаются как

Полувписанная сфера триакисикосаэдра

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

Описать около триакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Примечания[править | править код]

  1. Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки[править | править код]