Купол (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пятиугольный купол (пример)
Пятиугольный купол
Тип Множество куполов
Символ Шлефли {n} || t{n}
Граней n треугольников,
n квадратов,
1 n-угольник,
1 2n-угольник
Рёбер 5n
Вершин 3n
Группа симметрии Cnv, [1,n], (*nn), порядок 2n
Группа вращений Cn, [1,n]+, (nn), порядок n
Двойственный многогранник ?
Свойства выпуклый

Купол — тело, образованное соединением двух многоугольников, в котором один (основание) имеет вдвое больше сторон по сравнению с другим (верхняя грань). Соединение многоугольников осуществляется равнобедренными треугольниками и прямоугольниками. Если треугольники правильные, а прямоугольники являются квадратами, в то время как основание и вершина являются правильными многоугольниками, купол является многогранником Джонсона. Эти куполы, трёхскатный, четырёхскатный и пятискатный, можно получить, взяв сечения кубооктаэдра, ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно.

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

Куполу можно приписать расширенный символ Шлефли {n} || t{n}, представляющий правильный многоугольник {n}, соединённый с параллельной ему усечённой копией, t{n} или {2n}.

Куполы являются подклассом призматоидов.

Примеры[править | править код]

Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол Triangular prism wedge.png
Диагональный купол
Triangular cupola.png
Трёхскатный купол
Square cupola.png
Четырёхскатный купол
Pentagonal cupola.png
Пятискатный купол
Hexagonal cupola flat.png
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кубооктаэдр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубо-
октаэдр

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоикосо-
додекаэдр

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Упомянутые выше три многогранника являются нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями. «Шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольную призму может считать «куполом» степени 2 (купол отрезка и квадрата). Однако куполы с большим числом сторон многоугольников могут быть построены только с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин[править | править код]

Определение купола не требует правильности основания и верхней грани, но удобно рассматривать случаи, в которых куполы имеют максимальную симметрию, Cnv. В этом случае верхняя грань является правильным n-угольником, в то время как основание является правильным 2n-угольником, либо 2n-угольником с двумя различными длинами сторон (через одну) и теми же углами, что и у правильного 2n- угольника. Удобно расположить купол в координатной системе так, чтобы его основание лежало в плоскости xy с верхней гранью, параллельной этой плоскости. Ось z является осью симметрии порядка n, зеркальные плоскости проходят через эту ось и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхней грани, или и то, и другое. (Если n чётно, половина зеркал делит пополам стороны, половина — углы. Если же n нечётно, каждое зеркало делит пополам одну сторону и один угол верхней грани.) Пронумеруем вершины основания числами от V1 до V2n, а вершины верхней грани — числами от V2n+1 до V3n. Координаты вершин тогда можно записать следующим образом:

  • V2j−1: (rb cos[2π(j − 1) / n + α], rb sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
  • V2j: (rb cos(2πj / n − α), rb sin(2πj / n − α), 0)
  • V2n+j: (rt cos(πj / n), rt sin(πj / n), h),

где j = 1, 2, …, n.

Поскольку многоугольники V1V2V2n+2V2n+1, и т. д. являются прямоугольниками, на значения rb, rt и α накладываются ограничения. Расстояние V1V2 равно

rb{[cos(2π / n − α) − cos α]2 + [sin(2π / n − α) − sin α]2}12
= rb{[cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12

а расстояние V2n+1V2n+2 равно

rt{[cos(π / n) − 1]2 + sin2(π / n)}12
= rt{[cos2(π / n) − 2cos(π / n) + 1] + sin2(π / n)}12
= rt{2[1 − cos(π / n)]}12.

Они должны быть равны, так что, если это общее ребро имеет длину s,

rb = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12
rt = s / {2[1 − cos(π / n)]}12

И эти значения следует подставить в вышеприведённые формулы для вершин.

Звёздчатые куполы[править | править код]

Семейство звёздчатых куполов
n / d 4 5 7 8
3 Crossed square cupola.png
{4/3}
Crossed pentagrammic cupola.png
{5/3}
Heptagrammic cupola.png
{7/3}
Octagrammic cupola.png
{8/3}
5 Crossed heptagrammic cupola.png
{7/5}
Crossed octagrammic cupola.png
{8/5}
Семейство звёздчатых куполоидов
n / d 3 5 7
2 Tetrahemihexahedron.png
Скрещенный треугольный куполоид
Pentagrammic cuploid.png
Пентаграммный куполоид
Heptagrammic cuploid.png
Гептаграммный куполоид
4 Crossed pentagonal cuploid.png
Скрещенный пентаграммный куполоид
Crossed heptagrammic cuploid.png
Скрещенный гептаграммный куполоид

Звёздчатые куполы существуют для всех оснований {n/d}, где 6/5 < n/d < 6 и d нечётно. На границах куполы превращаются в плоские фигуры. Если d чётно, нижнее основание {2n/d} становится вырожденным — мы можем образовать куполоид или полукупол путём удаления этой вырожденной грани и позволив треугольникам и квадратам соединяться друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все куполы ориентированны[en], в то время как все куполоиды неориентированны. Если n/d > 2 для куполоида, треугольники и квадраты не покрывают всё основание и маленькая мембрана остаётся на основании, которая просто закрывает дыру. Таким образом, куполоиды {5/2} и {7/2} на рисунке выше имеют мембраны (не заполнены), в то время как куполоиды {5/4} и {7/4} их не имеют.

Высота h купола {n/d} или куполоида задаётся формулой . В частности, h = 0 на границах n/d = 6 и n/d = 6/5, и h максимально при n/d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально)[1][2].

На рисунках выше звёздчатые куполы показаны в цветах, чтобы подчеркнуть их грани — грань n/d-угольника показана красным, грань 2n/d-угольника показана жёлтым, квадраты представлены синим цветом, а треугольники — зелёным. Куполоиды имеют красные n/d-угольные грани, жёлтые квадратные грани, а треугольные грани выкрашены в голубой цвет, второе же основание удалено.

Гиперкуполы[править | править код]

Гиперкуполы или многогранные куполы — это семейство выпуклых неоднородных четырёхмерных многогранников, аналогичных куполам. Основаниями каждого такого многогранника являются правильный многогранник (трёхмерный) и его растяжение[3].

В таблице используется понятие Сегментогранник (англ. Segmentochora) — это фигура, удовлетворяющая следующим свойствам:

1. все вершины находятся на одной гиперсфере
2. все вершины находятся на двух параллельных гиперплоскостях
3. все рёбра имеют длину 1

В плоскости существует два сегментогранника (сегментоугольника) — правильный треугольник и квадрат.

В 3-мерном пространстве они включают пирамиды, призмы, антипризмы, купола.

Название Тетраэдральный купол[en] Кубический купол[en] Октаэдральный купол[en] Декаэдральный купол[en] Шестиугольный мозаичный купол[en]
Символ Шлефли {3,3} ∨ rr{3,3} {4,3} ∨ rr{4,3} {3,4} ∨ rr{3,4} {5,3} ∨ rr{5,3} {6,3} ∨ rr{6,3}
Индекс
сегментогранника[3]
K4.23 K4.71 K4.107 K4.152
Радиус
описанной
окружности
1 sqrt((3+sqrt(2))/2)
= 1.485634
sqrt(2+sqrt(2))
= 1.847759
3+sqrt(5)
= 5.236068
Рисунок 4D Tetrahedral Cupola-perspective-cuboctahedron-first.png 4D Cubic Cupola-perspective-cube-first.png 4D octahedral cupola-perspective-octahedron-first.png Dodecahedral cupola.png
Главные ячейки Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-43-t0.pngUniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t2.pngUniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-53-t0.pngUniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 63-t0.pngUniform tiling 63-t02.png
Вершин 16 32 30 80
Рёбер 42 84 84 210
Граней 42 24 {3} + 18 {4} 80 32 {3} + 48 {4} 82 40 {3} + 42 {4} 194 80 {3} + 90 {4} + 24 {5}
Ячеек 16 1 тетраэдр
4 треугольные призмы
6 треугольных призм
4 треугольные призмы
1 кубооктаэдр
28  1 куб
 6 квадратных призм
12 треугольных призм
 8 треугольных пирамид
 1 ромбокубооктаэдр
28  1 октаэдр
 8 треугольных призм
12 треугольных призм
 6 квадратных пирамид
ромбокубооктаэдр
64  1 додекаэдр
12 пятиугольных призм
30 треугольных призм
20 треугольных пирамид
 1 ромбоикосододекаэдр
1 шестиугольная мозаика
∞ шестиугольных призм
∞ треугольных призм
∞ треугольных пирамид
1 ромботришестиугольная мозаика
Связанные
однородные
4-мерные
многогранники
Рансинированный 5-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансинированный тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансинированный 24-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансинированный 120-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансинированные шестиугольные мозаичные соты[en]
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Примечания[править | править код]

  1. cupolas
  2. semicupolas
  3. 1 2 Klitzing, 2000, pp. 139—181.

Литература[править | править код]

  • N.W. Johnson. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966.. — Вып. 18. — С. 169–200.
  • Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.

Ссылки[править | править код]