Купол (геометрия)

Пятиугольный купол (пример)
Тип	Множество куполов
Символ Шлефли	{n} || t{n}
Граней	n треугольников, n квадратов, 1 n-угольник, 1 2n-угольник
Рёбер	5n
Вершин	3n
Группа симметрии	Cnv, [1,n], (*nn), порядок 2n
Группа вращений	Cn, [1,n]+, (nn), порядок n
Двойственный многогранник	?
Свойства	выпуклый

Купол — тело, образованное соединением двух многоугольников, в котором один (основание) имеет вдвое больше сторон по сравнению с другим (верхняя грань). Соединение многоугольников осуществляется равнобедренными треугольниками и прямоугольниками. Если треугольники правильные, а прямоугольники являются квадратами, в то время как основание и вершина являются правильными многоугольниками, купол является многогранником Джонсона. Эти куполы, трёхскатный, четырёхскатный и пятискатный, можно получить, взяв сечения кубооктаэдра, ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно.

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

Куполу можно приписать расширенный символ Шлефли {n} || t{n}, представляющий правильный многоугольник {n}, соединённый с параллельной ему усечённой копией, t{n} или {2n}.

Куполы являются подклассом призматоидов.

Примеры

Семейство выпуклых куполов

n	2	3	4	5	6
Название	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Купол	Диагональный купол	Трёхскатный купол	Четырёхскатный купол	Пятискатный купол	Шестискатный купол (плоский)
Связанные однородные многогранники	Треугольная призма	Кубооктаэдр	Ромбокубо- октаэдр	Ромбоикосо- додекаэдр	Ромботри- шестиугольная мозаика

Плоские «шестиугольные куполы» в ромботришестиугольной мозаике

Упомянутые выше три многогранника являются нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями. «Шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольную призму может считать «куполом» степени 2 (купол отрезка и квадрата). Однако куполы с большим числом сторон многоугольников могут быть построены только с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин

Определение купола не требует правильности основания и верхней грани, но удобно рассматривать случаи, в которых куполы имеют максимальную симметрию, C_nv. В этом случае верхняя грань является правильным n-угольником, в то время как основание является правильным 2n-угольником, либо 2n-угольником с двумя различными длинами сторон (через одну) и теми же углами, что и у правильного 2n- угольника. Удобно расположить купол в координатной системе так, чтобы его основание лежало в плоскости xy с верхней гранью, параллельной этой плоскости. Ось z является осью симметрии порядка n, зеркальные плоскости проходят через эту ось и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхней грани, или и то, и другое. (Если n чётно, половина зеркал делит пополам стороны, половина — углы. Если же n нечётно, каждое зеркало делит пополам одну сторону и один угол верхней грани.) Пронумеруем вершины основания числами от V₁ до V_2n, а вершины верхней грани — числами от V_2n+1 до V_3n. Координаты вершин тогда можно записать следующим образом:

• V_2j−1: (r_b cos[2π(j − 1) / n + α], r_b sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
• V_2j: (r_b cos(2πj / n − α), r_b sin(2πj / n − α), 0)
• V_2n+j: (r_t cos(πj / n), r_t sin(πj / n), h),

где j = 1, 2, …, n.

Поскольку многоугольники V₁V₂V_2n+2V_2n+1, и т. д. являются прямоугольниками, на значения r_b, r_t и α накладываются ограничения. Расстояние V₁V₂ равно

r_b{[cos(2π / n − α) − cos α]² + [sin(2π / n − α) − sin α]²}^1⁄2

= r_b{[cos²(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos² α] + [sin²(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin² α]}^1⁄2

= r_b{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}^1⁄2

= r_b{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1⁄2

а расстояние V_2n+1V_2n+2 равно

r_t{[cos(π / n) − 1]² + sin²(π / n)}^1⁄2

= r_t{[cos²(π / n) − 2cos(π / n) + 1] + sin²(π / n)}^1⁄2

= r_t{2[1 − cos(π / n)]}^1⁄2.

Они должны быть равны, так что, если это общее ребро имеет длину s,

r_b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1⁄2

r_t = s / {2[1 − cos(π / n)]}^1⁄2

И эти значения следует подставить в вышеприведённые формулы для вершин.

Звёздчатые куполы

Семейство звёздчатых куполов

n / d	4	5	7	8
3	{4/3}	{5/3}	{7/3}	{8/3}
5	—	—	{7/5}	{8/5}

Семейство звёздчатых куполоидов

n / d	3	5	7
2	Скрещенный треугольный куполоид	Пентаграммный куполоид	Гептаграммный куполоид
4	—	Скрещенный пентаграммный куполоид	Скрещенный гептаграммный куполоид

Звёздчатые куполы существуют для всех оснований {n/d}, где ⁶/₅ < ⁿ/_d < 6 и d нечётно. На границах куполы превращаются в плоские фигуры. Если d чётно, нижнее основание {2n/d} становится вырожденным — мы можем образовать куполоид или полукупол путём удаления этой вырожденной грани и позволив треугольникам и квадратам соединяться друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все куполы ориентированны, в то время как все куполоиды неориентированны. Если n/d > 2 для куполоида, треугольники и квадраты не покрывают всё основание и маленькая мембрана остаётся на основании, которая просто закрывает дыру. Таким образом, куполоиды {5/2} и {7/2} на рисунке выше имеют мембраны (не заполнены), в то время как куполоиды {5/4} и {7/4} их не имеют.

Высота h купола {n/d} или куполоида задаётся формулой $h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}({\frac {\pi d}{n}})}}}}$. В частности, h = 0 на границах n/d = 6 и n/d = 6/5, и h максимально при n/d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально).

На рисунках выше звёздчатые куполы показаны в цветах, чтобы подчеркнуть их грани — грань n/d-угольника показана красным, грань 2n/d-угольника показана жёлтым, квадраты представлены синим цветом, а треугольники — зелёным. Куполоиды имеют красные n/d-угольные грани, жёлтые квадратные грани, а треугольные грани выкрашены в голубой цвет, второе же основание удалено.

Гиперкуполы

Гиперкуполы или многогранные куполы — это семейство выпуклых неоднородных четырёхмерных многогранников, аналогичных куполам. Основаниями каждого такого многогранника являются правильный многогранник (трёхмерный) и его растяжение.

В таблице используется понятие Сегментогранник (англ. Segmentochora) — это фигура, удовлетворяющая следующим свойствам:

1. все вершины находятся на одной гиперсфере

2. все вершины находятся на двух параллельных гиперплоскостях

3. все рёбра имеют длину 1

В плоскости существует два сегментогранника (сегментоугольника) — правильный треугольник и квадрат.

В 3-мерном пространстве они включают пирамиды, призмы, антипризмы, купола.

Название	Тетраэдральный купол		Кубический купол		Октаэдральный купол		Декаэдральный купол		Шестиугольный мозаичный купол
Символ Шлефли	{3,3} ∨ rr{3,3}		{4,3} ∨ rr{4,3}		{3,4} ∨ rr{3,4}		{5,3} ∨ rr{5,3}		{6,3} ∨ rr{6,3}
Индекс сегментогранника	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
Радиус описанной окружности	1		sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1.485634		sqrt(2+sqrt(2)) = 1.847759		3+sqrt(5) = 5.236068
Рисунок
Главные ячейки
Вершин	16		32		30		80		∞
Рёбер	42		84		84		210		∞
Граней	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
Ячеек	16	1 тетраэдр 4 треугольные призмы 6 треугольных призм 4 треугольные призмы 1 кубооктаэдр	28	1 куб  6 квадратных призм 12 треугольных призм  8 треугольных пирамид  1 ромбокубооктаэдр	28	1 октаэдр  8 треугольных призм 12 треугольных призм  6 квадратных пирамид 1 ромбокубооктаэдр	64	1 додекаэдр 12 пятиугольных призм 30 треугольных призм 20 треугольных пирамид  1 ромбоикосододекаэдр	∞	1 шестиугольная мозаика ∞ шестиугольных призм ∞ треугольных призм ∞ треугольных пирамид 1 ромботришестиугольная мозаика
Связанные однородные 4-мерные многогранники	Рансинированный 5-ячейник		Рансинированный тессеракт		Рансинированный 24-ячейник		Рансинированный 120-ячейник		Рансинированные шестиугольные мозаичные соты

Литература

• N.W. Johnson. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966.. — Вып. 18. — С. 169–200.
• Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cupola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Segmentotopes