Обобщённое гиперболическое распределение

Обобщённое гиперболическое

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$\mu$ (вещественное число) $\lambda$ (вещественное число) $\alpha$ (вещественное число) $\beta$ коэффициент асимметрии (вещественное число) $\delta$ коэффициент масштаба (вещественное число) $\gamma = \sqrt{\alpha^2 - \beta^2}$
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{(\gamma/\delta)^\lambda}{\sqrt{2\pi}K_\lambda(\delta \gamma)} \; e^{\beta (x - \mu)} \!$ $\times \frac{K_{\lambda - 1/2}\left(\alpha \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)}{\left(\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} / \alpha\right)^{1/2 - \lambda}} \!$
Функция распределения
Математическое ожидание	$\mu + \frac{\delta \beta K_{\lambda+1}(\delta \gamma)}{\gamma K_\lambda(\delta\gamma)}$
Медиана
Мода
Дисперсия	$\frac{\delta K_{\lambda+1}(\delta \gamma)}{\gamma K_\lambda(\delta\gamma)} + \frac{\beta^2\delta^2}{\gamma^2}\left( \frac{K_{\lambda+2}(\delta\gamma)}{K_{\lambda}(\delta\gamma)} - \frac{K_{\lambda+1}^2(\delta\gamma)}{K_{\lambda}^2(\delta\gamma)} \right)$
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{e^{\mu z}\gamma^\lambda}{(\sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})^\lambda} \frac{K_\lambda(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})}{K_\lambda (\delta \gamma)}$
Характеристическая функция

Обобщённое гиперболическое распределение это непрерывное вероятностное распределение, определяемое как нормальная смесь дисперсии-среднего со смешивающей плотностью обобщённого обратного Гауссова распределения.

Как видно из названия, обобщённое гиперболическое распределение является довольно обширным классом распределений, который включает в себя распределение Стьюдента, распределение Лапласа, гиперболическое распределение и распределение variance-gamma.

Связанные распределения

• $X \sim \mathrm{GH}(-\frac{\nu}{2}, 0, 0, \sqrt{\nu}, \mu)\,$ имеет распределение Стьюдента с $\nu$ степенями свободы.
• $X \sim \mathrm{GH}(1, \alpha, \beta, \delta, \mu)\,$ имеет гиперболическое распределение.

• $X \sim \mathrm{GH}(-1/2, \alpha, \beta, \delta, \mu)\,$ имеет нормальное-обратное Гаусово распределение.
• $X \sim \mathrm{GH}(?, ?, ?, ?, ?)\,$ имеет нормальное-обратное хи-вадарат распределение.
• $X \sim \mathrm{GH}(?, ?, ?, ?, ?)\,$ имеет нормальное-обратное гамма распределение.

• $X \sim \mathrm{GH}(\lambda, \alpha, \beta, 0, \mu)\,$ имеет распределение variance-gamma.