Изотоксальная фигура
Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.
Термин изотоксальный происходит от греческого τοξον, означающего дуга.
Изотоксальные многоугольники
[править | править код]Изотоксальный многоугольник всегда является равносторонним, но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. Двойственные изотоксальным многоугольникам являются изогональными многоугольниками.
В общем случае изотоксальный 2n-угольник будет иметь Dn (*nn) диэдральную симметрию. Ромб является рёберно транзитивным многоугольником с симметрией D2 (*22).
Все правильные многоугольники (правильный треугольник, квадрат, и т. д.) изотоксальны, имея удвоенный минимальный порядок симметрии — правильный n-угольник имеет Dn (*nn) диэдральную симметрию. Правильный 2n-угольник является вершинно транзитивным многоугольником и его вершины могут быть помечены поочерёдно двумя цветами, что удаляет осевую симметрию через середину рёбер.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ромб | Равносторонний треугольник | Вогнутый шестиугольник | Самопересекающийся шестиугольник | Выпуклый восьмиугольник | Правильный пятиугольник | Самопересекающаяся (правильная) пентаграмма | Самопересекающаяся декаграмма | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рёберно-транзитивные многогранники и мозаики
[править | править код]Правильные многогранники являются изоэдральными (гране транзитивными), изогональными (вершинно транзитивными) и изотоксальными (рёберно транзитивными). Квазиправильные многогранники являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойственные многогранники изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.
| Квазиправильный многогранник |
Квазиправильный двойственный многогранник |
Квазиправильный звёздчатый многогранник |
Квазиправильный двойственный звёздчатый многогранник |
Квазиправильная мозаика |
Квазиправильная двойственная мозаика |
|---|---|---|---|---|---|
 Кубооктаэдр является изогональным и изотоксальным многогранником |
 Ромбододекаэдр является изоэдральным и изотоксальным многогранником |
 Большой икосододекаэдр является изогональным и изотоксальным звёздчатым многогранником |
 Большой ромбический тридцатигранник |
 Тришестиугольная мозаика является изогональной и изотоксальной мозаикой |
 Ромбическая мозаика является изоэдральной и изотоксальной мозаикой с симметрией p6m (*632). |
Не любой многогранник или 2-мерная мозаика, состоящие из правильных многоугольников, изотоксален. Например, усечённый икосаэдр (знакомый нам по футбольному мячу) имеет два типа рёбер — шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник и нет возможности симметрией перевести ребро шестиугольник-шестиугольник в шестиугольник-пятиугольник.
Изотоксальный многоугольник имеет те же самые диэдральные углы для всех рёбер.
Существует девять выпуклых рёберно транзитивных многогранников, образованных из правильных многогранников, 8, образованных из многогранников Кеплера — Пуансо, и ещё шесть являются квазиправильными звёздчатыми многогранниками (3 | p q) и их двойственными.
Существует 5 многоугольных рёберно транзитивных мозаик на евклидовой плоскости и бесконечно много на гиперболической плоскости, включая построения Уитхофф из правильных гиперболических мозаик {p, q} и неправильных (p q r) групп.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 371. — ISBN 0-521-55432-2.
- Grünbaum B., Shephard G.C. 6.4 Isotoxal tilings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — С. 309—321. — ISBN 0-7167-1193-1.
- Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — .
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|