Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной $C(t)$, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по $t$. Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

$\partial \colon R\to R$

удовлетворяющими правилу произведения

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})$

для любых $r_{1},r_{2}\in R$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило $d(xy)=xdy+ydx$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если $M\colon R\times R\to R$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).$

где $f\otimes g$ — отображение пары $(x,y)$ в пару $(f(x),g(y))$.

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$

Полем констант дифференциального поля $K$ называется $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых $k\in K$ и $x\in A$:

$\ \partial (kx)=k\partial x$

В безындексной форме записи, если $\eta \colon K\to A$ — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

$\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых $a,b\in K$ и $x,y\in A$:

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$

и

$\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли $L$ — это линейное отображение $\delta \colon L\to L$, удовлетворяющее правилу Лейбница:

$\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]$

Для любого $a\in L$ оператор $\operatorname {ad} (a)$ — дифференцирование на $L$, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если $A$ — алгебра с единицей, то $\partial (1)=0$, так как $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле $\mathbb {Q} (t)$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством $\partial (t)=1$: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по $t$. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

$\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)$

В дифференциальном поле $\mathbb {Q} (t)$ нет решения дифференциального уравнения $\partial (u)=u$, но можно расширить его до поля, содержащего функцию $e^{t}$, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

$R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.$

Умножение в этом кольце определяется как

$(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.$

Здесь ${m \choose k}$ — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

$\xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}$

следующее из

${-1 \choose n}=(-1)^{n}$

и

$r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).$

Градуированное дифференцирование

Пусть $A$ — градуированная алгебра, $D$ — однородное линейное отображение, $d=\left|D\right|$. $D$ называется однородной производной, если $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)$, $\epsilon =\pm 1$ при действии на однородные элементы $A$. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым $\epsilon$.

Если $\epsilon =1$, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если $\epsilon =-1$, то $D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)$, для нечётных $\left|D\right|$. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть $\mathbb {Z} _{2}$-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.