Интеграл Курцвейля — Хенстока

Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.

История

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае, было дано Арно Данжуа в 1912 году. Он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2}}}\right)$, доопределенной нулем в нуле. Функция $\displaystyle f'(x)$ определена и конечна во всех точках, но не интегрируема по Лебегу в окрестности нуля. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона и тем самым, в одномерном случае, покрывает интеграл Лебега.

По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы ввести его в программу начального курса математического анализа, но пока эта идея частично реализована лишь на механико-математических факультетах Московского государственного университета и Саратовского государственного университета.

Определение

Для определения интеграла Курцвейля — Хенстока вводится несколько промежуточных понятий:

• калибровочная функция (масштаб)— произвольная функция $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$;
• отмеченное разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ — конечный набор пар $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$, где $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ и $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$;
• отмеченное разбиение $P$ называется $\delta$-тонким (согласованным с $\delta$), если $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\delta (\xi _{k})$ при всех $k$ от $1$ до $n$;
• для отмеченного разбиения $P$ и функции $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ интегральной суммой называется выражение:

  $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$.

Функция $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ называется интегрируемой по Курцвейлю — Хенстоку на отрезке $[a,b]$, если существует число $I$ (называемое интегралом Курцвейля — Хенстока от функции $f$ на отрезке $[a,b]$), обладающее следующим свойством: для любого $\varepsilon >0$ существует такая калибровочная функция $\delta _{\varepsilon }$, что для любого согласованного с $\delta _{\varepsilon }$ отмеченного разбиения $P$ имеет место неравенство $|S(P,f)-I|<\varepsilon$.

Существование согласованных с $\delta$ отмеченных разбиений для данной калибровочной функции $\delta$ следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля — Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

Литература

• Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7

Ссылки

• Несобственный интеграл Римана и интеграл Хенстока в $R^{n}$, П. Мальдониa, В. А. Скворцов Матем. заметки, 2005, том 78, выпуск 2, страницы 251—258
• Обобщенные интегралы и ряды Фурье И. А. Виноградова, В. А. Скворцов Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970, 1971, страницы 65-107