Устойчивое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение[править | править вики-текст]

Функция распределения F(x) называется устойчивой, если для любых действительных чисел a_{1} > 0, a_{2} > 0, b_{1}, b_{2} найдутся числа a > 0, b такие, что имеет место равенство: F(a_{1}x+b_{1}) * F(a_{2}x+b_{2}) = F(ax+b), где * - операция свёртки. Если \phi(t) является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых a_{1} > 0, a_{2} > 0 найдутся числа a > 0, b такие, что \phi ( \frac{t}{a_1} ) \phi ( \frac{t}{a_2} ) = \phi ( \frac{t}{a} ) {e}^{ -i t b }.[1]

Замечания[править | править вики-текст]

F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R},

где * обозначает свёртку.

\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}.

Свойства устойчивых распределений[править | править вики-текст]

  • Пусть \xi_{1}, \xi_{2}, ..., \xi_{n} - независимые одинаково распределённые случайные величины и \eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n}, где \beta_{n} > 0, \alpha_{n} - некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если F_{n}(x) - функция распределения случайных величин \eta_{n}, то предельными распределениями для F_{n}(x) при n \to \infty могут быть лишь устойчивые распределения. Обратно, для любого устойчивого распределения F(x) существует последовательность случайных величин \eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n} такая, что F_{n}(x) сходится к F(x) при n \to \infty.[1]
  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
\ln \phi(t) = \left\{
\begin{matrix}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\
0, & t = 0.
\end{matrix}
\right.,

где 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, и


G(t,\alpha) = \left\{
\begin{matrix}
\mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\
\frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1
\end{matrix}
\right..

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Королюк, 1985, с. 141.

Литература[править | править вики-текст]

Bvn-small.png          Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула