Распределение Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Распределение Лапласа
Плотности распределений Лапласа Плотность вероятности
Функции распределений Лапласа Функция распределения
Параметры  — коэффициент масштаба
 — коэффициент сдвига
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов ?
Характеристическая функция

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

где — параметр масштаба, — параметр сдвига.

Применение   [править | править код]

Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить к:   

Функция распределения[править | править код]

По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

Проверка свойств полученной функции:

  1. не убывает, так как положительна.
  2. , следовательно, непрерывна в точке
  3. ограничена.
  4. Пределы на бесконечностях:

Математическое ожидание и дисперсия[править | править код]

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей () рассматриваются пределы вида .



Моменты[править | править код]


Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:


После подстановок пределов интегрирования:


Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

Или, в общем виде:

, где — целая часть x.

Характеристическая функция[править | править код]

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера и классический пример нахождения интегралов вида и (см. Интегрирование по частям:Примеры):



Окончательно характеристическая функция есть:

Обобщение[править | править код]

Обобщением распределения Лапласа является обобщённое гиперболическое распределение.

Литература[править | править код]