Распределение Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Лапласа
Плотность вероятности
Плотности распределений Лапласа
Функция распределения
Функции распределений Лапласа
Обозначение {{{notation}}}
Параметры - коэффициент масштаба
- Коэффициент сдвига
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов  ?
Характеристическая функция

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

, ,
где — параметр масштаба, — параметр сдвига.

Функция распределения[править | править вики-текст]

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и


Проверка свойств полученной функции:

  1. не убывает, так как положительна.
  2. , следовательно, непрерывна в точке
  3. ограничена.
  4. Пределы на бесконечностях:

Математическое ожидание и дисперсия[править | править вики-текст]

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей () рассматриваются пределы вида .



Моменты[править | править вики-текст]


Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:


После подстановок пределов интегрирования:


Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

Или, в общем виде:

, где — целая часть x.

Характеристическая функция[править | править вики-текст]

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера и классический пример нахождения интегралов вида и (см. Интегрирование по частям:Примеры):



Окончательно характеристическая функция есть:


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула