Распределение Парето

Распределение Парето
$x_{\text{m}}=1$Плотность вероятности
$x_{\text{m}}=1$Функция распределения
Обозначение	$P(k,x_{\text{m}})$
Параметры	$x_{\text{m}}>0$ — коэффициент масштаба $k>0$
Носитель	$x\in [x_{\text{m}};+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
Функция распределения	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Математическое ожидание	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$, если $k>1$
Медиана	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Мода	$x_{\text{m}}$
Дисперсия	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ при $k>2$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}$ при $k>3$
Коэффициент эксцесса	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}$ при $k>4$
Дифференциальная энтропия	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m}}}}\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m}}t)^{k}{\big ]}+{}$ ${}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )}$

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина $X$ такова, что её распределение задаётся равенством

$F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \forall x\geqslant x_{\text{m}},$

где $x_{\text{m}},k>0$. Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Парето с параметрами $x_{\text{m}}$ и $k$. Плотность распределения Парето имеет вид

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\\[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}$

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},$

откуда, в частности,

$\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},$

$\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.$

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины $k$, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
  • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
  • Аналогичная кривая для популярности имён.
• Распределение размера населённых пунктов.

См. также

• Закон Парето
• Кривая Парето
• Закон Ципфа
• Степенной закон

Литература

• Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.