Распределение Парето

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Распределение Парето
Pareto distributionPDF.png
Плотность вероятности
Pareto distributionCDF.png
Функция распределения
Обозначение
Параметры  — коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание , если
Медиана
Мода
Дисперсия при
Коэффициент асимметрии при
Коэффициент эксцесса при
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических[1]. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение[править | править код]

Пусть случайная величина такова, что её распределение задаётся равенством

где . Тогда говорят, что имеет распределение Парето с параметрами и . Плотность распределения Парето имеет вид

Моменты[править | править код]

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

откуда, в частности,

Приложения[править | править код]

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

  • В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
    • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
    • Аналогичная кривая для популярности имён.
  • Распределение размера населённых пунктов[3].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Guerriero, V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics (англ.) // Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). — 2012. — Vol. 1, no. 1. — P. 21—28. Архивировано 5 декабря 2013 года.
  2. Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
  3. Reed, W. J., Jorgensen, M. The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions (англ.) // Communications in Statistics: Theory and Methods. — 2004. — Vol. 33, iss. 8. — P. 1733—1753. — doi:10.1081/STA-120037438.

Литература[править | править код]

  • Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.