Логнормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Логнормальное
График плотности
μ=0 Плотность вероятности
График функции распределения
μ=0 Функция распределения
Обозначение ,
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение[править | править код]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и . Пишут: .

Моменты[править | править код]

Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид:

откуда в частности:

,
.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

, где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения[править | править код]

  • Если независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально:
    .

Связь с другими распределениями[править | править код]

  • Если , то .

И наоборот, если , то .

Моделирование логнормальных случайных величин[править | править код]

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение[править | править код]

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна[источник не указан 1285 дней].

Приложения[править | править код]

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, распределение по размерам астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение[источник не указан 1285 дней].

Литература[править | править код]

  • Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0 
  • Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
  • Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience (англ.) : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — DOI:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
  • Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
  • Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — DOI:10.1080/03610928908830173.
  • Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales (англ.). The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.