Логнормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Логнормальное
График плотности
μ=0 Плотность вероятности
График функции распределения
μ=0 Функция распределения
Обозначение ,
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение[править | править код]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и . Пишут: .

Моменты[править | править код]

Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид:

откуда в частности:

,
.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

, где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения[править | править код]

  • Если независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально:
    .

Связь с другими распределениями[править | править код]

  • Если , то .

И наоборот, если , то .

Моделирование логнормальных случайных величин[править | править код]

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение[править | править код]

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна[источник не указан 846 дней].

Приложения[править | править код]

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако на самом деле здесь есть исключения, например, на самом деле распределение по размерам астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение[источник не указан 846 дней].