Логнормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логнормальное
Плотность вероятности
График плотности
μ=0
Функция распределения
График функции распределения
μ=0
Обозначение ,
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и . Пишут: .

Моменты[править | править вики-текст]

Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид:

откуда в частности:

,
.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

, где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения[править | править вики-текст]

  • Если независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально:

.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если , то .

И наоборот, если , то .

Моделирование логнормальных случайных величин[править | править вики-текст]

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение[править | править вики-текст]

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна[источник не указан 128 дней].

Приложения[править | править вики-текст]

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако на самом деле здесь есть исключения, например, на самом деле распределение по размерам астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение[источник не указан 128 дней].


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула