Дифференциальная форма: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
MPI3 (обсуждение | вклад) простановка навигационного шаблона |
|||
Строка 29: | Строка 29: | ||
* для '''инвариантного определения дифференциала''' нужно определить дифференциал функций, то есть <math>0</math>-форм, затем дифференциал <math>1</math>-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по <math>R</math>-линейности и [[Правило произведения| градуированному правилу Лейбница]]: |
* для '''инвариантного определения дифференциала''' нужно определить дифференциал функций, то есть <math>0</math>-форм, затем дифференциал <math>1</math>-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по <math>R</math>-линейности и [[Правило произведения| градуированному правилу Лейбница]]: |
||
** <math>dF(v)=v(F)</math> — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть [[Производная по направлению|производная функции вдоль поля]]. |
** <math>dF(v)=v(F)</math> — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть [[Производная по направлению|производная функции вдоль поля]]. |
||
** <math>d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - [u,v]</math> — значение дифференциала <math>1</math>-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на [[Скобка Ли#Алгебра Ли векторных полей|коммутатор]]. |
** <math>d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - \omega([u,v])</math> — значение дифференциала <math>1</math>-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на [[Скобка Ли#Алгебра Ли векторных полей|коммутатор]]. |
||
** <math>\ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p)</math> — где верхние индексы <math>k</math> и <math>p</math> обозначают порядки соответствующих форм. |
** <math>\ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p)</math> — где верхние индексы <math>k</math> и <math>p</math> обозначают порядки соответствующих форм. |
||
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешний дифференциал равен 0. |
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешний дифференциал равен 0. |
Версия от 22:03, 8 октября 2013
Дифференциа́льная фо́рма порядка или -форма — кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия.
Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.
Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.
Пространство -форм на многообразии обычно обозначают .
Определения
Инвариантное
В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени , или просто -форма — это гладкое сечение , то есть -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,
- значение -формы на наборе из штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
- значение -формы в точке многообразия есть кососимметрический -линейный функционал на .
Через локальные карты
-формой на будем называть выражение следующего вида
где — гладкие функции, — дифференциал -ой координаты (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ), а — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.
На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).
Связанные определения
- Для -формы , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это -форма, в координатах имеющая вид
- для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть -форм, затем дифференциал -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по -линейности и градуированному правилу Лейбница:
- — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
- — значение дифференциала -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на коммутатор.
- — где верхние индексы и обозначают порядки соответствующих форм.
- Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
- k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой -формы.
- Факторгруппа замкнутых k-форм по точным k-формам называется -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
- Внутренней производной формы по векторному полю называется форма
Свойства
- Для дифференциалов форм векторного поля справедливо:
- Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от векторов.
- Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
- Для любой формы справедливо .
Примеры
- С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке многообразия и отображающий элементы касательного пространства в множество вещественных чисел :
- Форма объёма — пример -формы на -мерном многообразии.
- Симплектическая форма — замкнутая 2-форма на -многообразии, такая что .
Применения
Векторный анализ
Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на . Тогда ротор и дивергенцию для полей на можно представить как
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как
где — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма также называется 2-формой Максвелла.
Гамильтонова механика
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие с заданными на нём симплектической формой и функцией , называемой функцией Гамильтона. задаёт в каждой точке изоморфизм кокасательного и касательного пространств по правилу
- ,
где — дифференциал функции . Векторное поле на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций и на определяется по правилу
Вариации и обобщения
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на со значениями в векторном расслоении определяются как сечения тензорного произведения расслоений
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение .
Литература
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
- Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
- Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
- Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.