Целая рациональная функция

Эта статья — о функции над полем действительных чисел. Об алгебраическом обобщении см. Многочлен.

Полиномиальная функция — числовая функция действительного переменного вида:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$,

где $n\in \mathbb {N}$, $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R}$ и $a_{n}\neq 0$. Специальным случаем полиномиальной функции является функция $f(x)=0$, все коэффициенты которой равны нулю. Полиномиальная функция представляет собой сумму нескольких степенных функций и является частным случаем рациональной функции. Наиболее простыми представителями полиномиальной функции являются константная, линейная и квадратичная функции.

Основные понятия

$n=0$

$n=1$

$n=2$

$n=3$

$n=4$

$n=5$

Терминология

Терм в записи полиномиальной функции является полиномом. Натуральное число $n$ (наибольший показатель степени переменной $x$) определяет степень полиномиальной функции. Действительные числа $a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}$ называются коэффициентами полиномиальной функции. При этом число $a_{n}$ часто называют старшим коэффициентом, а число $a_{0}$ — свободным коэффициентом.

Специальные случаи

• При $n=0$ полиномиальная функция вырождается в констанстную функцию $f(x)=a_{0}$
• При $n=1$ получается линейная функция $f(x)=a_{1}x+a_{0}$.
• При $n=2$ получается квадратичная функция $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$.
• При $n=3$ получается кубическая функция $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$.
• Если $a_{n}\neq 0$ и все остальные коэффициенты равны $0$, имеет место степенная функция $f(x)=a_{n}x^{n}$ с натуральным показателем.

Примеры

• Функция $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4$ является полиноминальной функцией третьей степени с коэффициентами $-2$; $3$; $-5$ и $4$.
• Функция $f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x$ является полиноминальной функцией пятой степени с коэффициентами $1$; $0$; $3$; $0$; $5$ и $0$.
• Функция $f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}$ является полиноминальной функцией второй степени (то есть квадратичной функцией) с коэффициентами ${\frac {1}{3}}$ и $-{\sqrt {2}}$.

Основные свойства

Область определения, множество значений, пределы

Полиномиальная функция над полем действительных чисел определена всюду и является непрерывной на всей своей области определения. Её множество значений также является подмножеством множества действительных чисел. При чётном $n$ множество значений будет, в зависимости от знака старшего коэффициента $a_{n}$, ограничено сверху или снизу (см. также таблицу).

Предел полиномиальной функции на бесконечности $x\to \pm \infty$ всегда существует, а его конкретное значение зависит от чётности степени $n$ и знака при старшем коэффициенте $a_{n}$. При этом график полиномиальной функции ведёт себя точно также, как и график степенной функции $g(x)=a_{n}x^{n}$:

	чётное $n$		нечётное $n$
$a_{n}>0$	$f(x)\to +\infty$ при $x\to \pm \infty$ (множество значений ограничено снизу)		$f(x)\to -\infty$ при $x\to -\infty$ $f(x)\to +\infty$ при $x\to +\infty$
$a_{n}<0$	$f(x)\to -\infty$ при $x\to \pm \infty$ (множество значений ограничено сверху)		$f(x)\to +\infty$ при $x\to -\infty$ $f(x)\to -\infty$ при $x\to +\infty$

Предел полиномиальной функции в каждой точке $x_{0}$ совпадает со значением функции в этой точке: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Например, для функции $f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1$ имеем:

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(3x^{8})=+\infty$
$\lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1$

Чётность и симметрия

Функция $f(x)=x^{4}-4x^{2}+3$ содержит лишь чётные показатели степени ($4$; $2$ и $0$), поэтому её график обладает осевой симметрией по отношению к оси ординат

Полиномиальная функция является чётной, если все показатели степени в её записи являются чётными числами. График такой функции обладает осевой симметрией по отношению к оси ординат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства $f(-x)=f(x)$, справедливого по отношению к чётным функциям. Чётными, например, являются следующие полиномиальные функции:

• $f(x)=-2x^{4}+3x^{2}$ с показателями $4$ и $2$
• $f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1$ с показателями $4$; $2$ и $0$
• $f(x)=5x^{6}-2$ с показателями $6$ и $0$

Полиномиальная функция является нечётной, если все показатели степени в её записи являются нечётными числами. График такой функции обладают центральной симметрией по отношению к центру системы координат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства $f(-x)=-f(x)$, выполняющегося для нечётных функциям. Нечётными являются, например, следующие полиномиальные функции:

• $f(x)=2x^{7}-3x^{5}$ с показателями $7$ и $5$
• $f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x$ с показателями $5$; $3$ и $1$

Если в записи полиномиальной функции встречаются как чётные, так и нечётные показатели, такая функция не является ни чётной, ни ничётной. По этой причине её график не обладает симметрией ни по отношению к оси ординат, ни по отношению к центру системы координат. Тем не менее, такие функции могут обладать более сложными случаями симметрии. В частности, справедливы следующие утверждения:

• Если $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ для некоторого числа $x_{0}\in \mathbb {R}$, то график этой функции обладает осевой симметрией по отношению к прямой $x=x_{0}$.
• Если $f(x_{0}+x)-y_{0}=-f(x_{0}-x)+y_{0}$ для некоторой пары чисел $x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$, то график этой функции обладает центральной симметрией по отношению к точке $P(x_{0}|y_{0})$.

Кроме того, также имеют место следующие свойства:

• График каждой полиноминальной функции второй степени является симметричным по отношению к прямой, проходящей параллельно оси ординат через вершину параболы, которая одновременно также является точкой экстремума этой функции.
• График каждой полиноминальной функции третьей степени является симметричным по отношению к своей точке перегиба.

Производная и первообразная

Правила дифференцирования

$(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)$
$(a\cdot x^{n})'=a\cdot n\cdot x^{n-1}$
$(a)'=0$

Правила интегрирования

$\int [u(x)+v(x)]dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$
$\int (a\cdot x^{n})dx={\dfrac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+c$
$(a)'=ax+c$

Полиномиальная функция дифференцируема во всей своей области определения. Её производная легко находится с помощью элементарных правил дифференцирования. Например, производная функции $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1$ с учётом приведённых правил дифференцирования вычисляется следующим образом:

${\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'+(-4x^{2})'+(5x)'+(-1)'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}$

Полиномиальная функция также и интегрируема во всей своей области определения. Её первообразная также легко находится с помощью элементарных правил интегрирования. Например, первообразная той же функции $f(x)$, что и в примере выше, с учётом приведённых правил интегрирования вычисляется следующим образом:

$F(x)=\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c$, где $c\in \mathbb {R} .$

Нетрудно заметить, что производная и первобразная полиномиальной функции $f(x)$ степени $n$ также являются полиномиальными функциями. При этом функция $f'(x)$ имеет степень $n-1$ и функция $F(x)$ — степень $n+1$ (за исключением тривиального случая, когда $f(x)=0$).

Особые точки полиномиальной функции

Нули полиномиальной функции

Нули полиномиальной функции совпадают с корнями многочлена, присутствующего в её уравнении. Таким образом, для нахождения нулей необходимо решить уравнение $f(x)=0$. Метод решения во многом зависит от конкретного уравнения функции.

Если полиномиальная функция $f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ записана в виде $f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsb (x-x_{m})^{k_{m}}$, где каждый из факторов представляет из себя линейный двучлен, то действительные числа $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{m}$ являются нулями функции $f(x)$, а натуральные числа $k_{1}$, $k_{2}$, …, $k_{m}$ — кратность соответствующих корней этой функции. При этом должно выполняться условие: $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}\leq n$. Таким образом, степень $n$ функции $f(x)$ определяет максимально возможное число её нулей над полем действительных чисел. В случае обобщения полиномиальной функции на поле комплексных чисел, в соответствии с основной теоремой алгебры, будет выполняться равенство: $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n$.

Так, например, полиномиальная функция $f(x)=-0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)$ имеет три нуля, а именно: $x_{1}=0$ (кратности 3), $x_{2}=2$ (кратности 1), $x_{3}=-3$ (кратности 2). Квадратный многочлен $x^{2}+1$ не имеет действительных корней, поэтому не может быть далее факторизирован на линейные множители.

Для нахождения нулей полиномиальной функции степени $n=1$ и $n=2$ используются методы, применяемые для решения линейных и квадратных уравнений. Для нахождения нулей полиномиальной функции степени $n\geq 3$ там, где это возможно, могут быть использованы различные специальные методы решения алгебраических уравнений (в особенности это касается биквадратных и степенных уравнений). В более общих случаях применяются либо такие универсальные методы как деление многочленов столбиком и схема Горнера, позволяющие однако найти лишь целочисленные (точные) решения, либо используются численные методы (например, метод Ньютона) для нахождения всех (приближённых) решений.

Методы нахождения целочисленных корней основаны на следствии из теоремы Безу. В частности, для факторизации полиномиальной функции $f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ с целыми коэффициентами сначала среди всех делителей свободного коэффициента $a_{0}$ подбирается один любой корень $x_{0}$, то есть такое целое число, для которого справедливо: $f(x_{0})=0$. Затем путём деления столбиком или с помощью схемы Горнера многочлена $f(x)$ на двучлен $x-x_{0}$ производится факторизация исходного многочлена к виду $f(x)=(x-x_{0})\cdot g(x)$, где $g(x)$ — многочлен степени $n-1$. Таким образом, степень исходной функции, а значит, и её сложность, уменьшается. Нахождение нулей функции $f(x)$ сводится к нахождению нулей функции $g(x)$.

Так, например, для нахождения нулей функции $f(x)=x^{3}-12x^{2}+5x+150$ (см. пример) с целыми коэффициентами сначала «угадывается» один корень (число +5 находится среди делителей числа 150), а затем исходный многочлен $f(x)$ делится на двучлен $x-5$. Дальнейшее нахождение остальных нулей функции $f(x)$ сводится к нахождению нулей результирующей функции $g(x)=x^{2}-7x-30$, которые легко можно найти, решив соответствующее квадратное уравнение.

Монотонность и точки экстремума

Так как необходимым условием для существования локального экстремума функции в точке $x_{0}$ является нулевое значение углового коэффициента в ней, то для нахождения экстремумов полиномиальной функции необходимо решить уравнение $f'(x)=0$, то есть вычислить нули её производной функции. Так как производная полиномиальной функции сама является полиномиальной функцией (более низкой степени), то для нахождения потенциальных точек экстремума $x_{0}$ применяются те же самые методы, что и для вычисления нулей самой функции. Из свойства о числе корней многочлена можно заключить, что полиномиальная функция степени $n$ теоретически может иметь до $n-1$ локальных экстремумов. Также легко видеть, что между двумя любыми нулями полиномиальной функции обязательно располагается как минимум один локальный экстремум.

Так как любая полиномиальная функция $f(x)$ непрерывна и дважды дифференцируема в каждой точке $x_{0}$, то для проверки существования локального максимума и локального минимума полиномиальной функции достаточно убедиться, что найденное значение $x_{0}$ (нуль производной функции) удовлетворяет одному из достаточных критериев.

Критерий с помощью неравенства нулю второй производной:

• Если $f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})<0$, то $x_{0}$ является точкой локального максимума.
• Если $f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})>0$, то $x_{0}$ является точкой локального минимума.
• Если $f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})=0$, то о точке $x_{0}$ нельзя сделать никакого вывода (здесь может быть как экстремум, так и «седловая точка»).

Критерий с помощью смены знака первой производной:

• Если $f'(x_{0})=0$ и , $f'(x)$ меняет знак с «плюс» на «минус» при переходе через точку $x_{0}$, то $x_{0}$ является точкой локального максимума.
• Если $f'(x_{0})=0$ и , $f'(x)$ меняет знак с «минус» на «плюс» при переходе через точку $x_{0}$, то $x_{0}$ является точкой локального минимума.

Графическое представление

Кратность нулей на графике функции

Нули полиномиальной функции различной кратности ($n=6$)

Для определения кратности нулей полиномиальной функции может быть использован тот факт, что любая полинимоальная функция является многократно дифференцируемой. Так, если $x_{0}$ — нуль кратности $k$ (но не кратности $k+1$) полиномиальной функции $f(x)$, то выполняются следующие исловия:

$f(x_{0})=0,\quad f'(x_{0})=0,\quad f''(x_{0})=0,\quad \dotsc ,\quad f^{(k-1)}(x_{0})=0,\quad f^{(k)}(x_{0})\neq 0$.

Например, для функции $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$ справедливо: $f'(x)=3x^{2}-6x+3$; $f''(x)=6x-6$ и $f'''(x)=6$. Так как $f(1)=1-3+3-1=0$, то $x_{0}=1$ является нулём функции $f(x)$. Далее выполняется: $f'(1)=3-6+3=0$, $f''(1)=6-6=0$ и $f'''(1)=6\neq 0$. Таким образом, $x_{0}=1$ является нулём кратности 3!

Кратность нулей можно увидеть из графика полинимиальной функции:

• В случае нуля $x_{0}$ кратности 1 график функции пересекает ось абсцисс. При этом в точке $x_{0}$ не происходит изменения монотонности функции, так как вторая производная в этой точке не равна нулю!
• Если нуль $x_{0}$ имеет кратность 2, то, очевидно, что $f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})\neq 0$. Таким образом, график функции будет касаться оси абсцисс в точке $x_{0}$, имея в ней экстремум. Монотонность функции в $x_{0}$ будет изменяться.
• Если нуль $x_{0}$ имеет кратность 3, то, ввиду $f'(x_{0})=0$, $f''(x_{0})=0$ и $f'''(x_{0})\neq 0$, график функции будет иметь в $x_{0}$ точку перегиба. Монотонность функции в $x_{0}$ изменяться не будет.

Литература

• Lothar Papula. Ganzrationale Funktionen // Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler : [нем.]. — Wiesbaden : Vieweg+Teubner, 2009. — Т. 1. — С. 190-200. — ISBN 978-3-8348-0545-4.

Ссылки

• Производная степенной функции // math24.ru