Числа Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи $\left\{F_n\right\}$ задается линейным рекуррентным соотношением:

$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.$

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F_n = F_{n + 2} − F_{n + 1}:

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Fn	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко заметить, что $\! F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n$.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

• В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
• В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
• Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
• В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение F_n как функцию от n:

$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}$,

где $\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение. При этом $\varphi\,\!$ и $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!$ являются корнями характеристического уравнения $x^2-x-1=0\,\!$.

Из формулы Бине следует, что для всех $n\geqslant 0$, F_n есть ближайшее к $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,$ целое число, то есть $F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil$. В частности, при $n\to\infty$ справедлива асимптотика $F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$.

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

$F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)$

При этом соотношение F_{z + 2} = F_{z + 1} + F_z выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи.

• $F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1$

• $F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$

• $F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$

• $F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}$

• $F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}$

• $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

• $F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$

• $F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$

• $F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}$

И более общие формулы:

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$

• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}$

• $F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: $F_{n+1} = K_n(1,\dots,1)$, то есть

$F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, а также $\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}$,

где матрицы имеют размер $n\times n$, i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

$F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),$

$F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).$

• Для любого n,

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

$(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.$

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (F_m,F_n) = F_(m,n). Следствия:
  • F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, F_m делится на F₃ = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; F_m делится на F₄ = 3 только для m = 4k; F_m делится на F₅ = 5 только для m = 5k и т. д.
  • F_m может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F₁₃ = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — $F_{19}=4181=37\cdot 113$. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x² − x − 1 имеет корни $~\varphi$ и $-\frac{1}{\varphi}$.

• Отношения $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ являются подходящими дробями золотого сечения ϕ и, в частности, $\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.$
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  $F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}$.

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  F₀ = 0² = 0, F₁ = 1² = 1, F₂ = 1² = 1, F₁₂ = 12² = 144.

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  $1 + x + 2 x^2 + 3 x^3 + 5 x^4 + 8 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}$

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  z(x,y) = 2xy⁴ + x²y³ − 2x³y² − y⁵ − x⁴y + 2y,

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.

• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N² + 4 или 5N² − 4 является квадратом.

• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.

Вариации и обобщения

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка $~F_n = U_n(1,-1)$, при этом их дополнением являются числа Люка $~L_n = V_n(1,-1)$.

В других областях

В природе

• Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.
• Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.
• Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.

В культуре

• Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
• Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку и главном вокзале Цюриха.

См. также

• Дерево Фибоначчи
• Задача об упаковке в контейнеры
• Золотое сечение
• Метод Фибоначчи с запаздываниями
• Метод Фибоначчи поиска экстремума
• Непрерывная дробь
• Рекурсия
• Динамическое программирование
• Фибоначчи
• Фибоначчиева система счисления
• Числа Леонардо

Литература

• Н. Н. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Числа Фибоначчи
• Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.)
• Расчет чисел Фибоначчи рекурсией (Mathcad Calculation Server)
• Компьютеры Фибоначчи