Зависящий от параметра интеграл

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Зависящий от параметра собственный интеграл

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область ${\overline {G}}=\left\{\left(x,y\right)|a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\right\}$, на которой определена функция $f(x,y)$ двух переменных.

Пусть далее, $\forall y\in \left[c;d\right]\,\exists I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx$.

Функция $I(y)$ и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра

Непрерывность

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна в области ${\overline {G}}$ как функция двух переменных. Тогда функция $I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx$ непрерывна на отрезке $[c;d]$.

Доказательство

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. $\Delta I\left(y\right)=I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$.

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть $\forall \epsilon >0\,\exists \delta =\delta \left(\epsilon \right)>0\,\forall M_{1}(x_{1},y_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2})\in {\overline {G}}:$

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}<\delta \,\left|f(M_{1})-f(M_{2})\right|<\epsilon$.

Следовательно, $\Delta I(y)<\epsilon (b-a)$ при $\Delta y<\delta$, что и означает непрерывность функции

Дифференцирование под знаком интеграла

Пусть теперь на области ${\overline {G}}$ непрерывна не только функция $f(x,y)$, но и её частная производная ${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)$.

Тогда ${\frac {d}{dy}}I(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx$, или, что то же самое, ${\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx$

Доказательство

${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}={\frac {1}{\Delta y}}\int \limits _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\eta )dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\Theta \Delta y)dx$ $(\eta \in [y;y+\Delta y],\Theta \in [0;1])$ Данные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение ${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=\int \limits _{a}^{b}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y+\Theta \Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\right)\,dx$.

Используя вновь теорему Кантора, но для функции ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ мы получаем, что ${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=o(1)$ при $\Delta (y)\to 0$, что и доказывает данную теорему

Интегрирование под знаком интеграла

Если функция $f(x,y)$ непрерывна в области ${\overline {G}}$, то

$\int \limits _{c}^{d}I(y)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$, или, что то же самое:

$\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$

Доказательство

Рассмотрим две функции:

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$

$G(x)=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy$

${\frac {dF}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy$

${\frac {dG}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}\left({\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy$

${\frac {dF}{dx}}\equiv {\frac {dG}{dx}}$ на $[a;b]$, следовательно $F(x)\equiv G(x)+C$.

Так как $F(a)=0,\;G(a)=\int \limits _{c}^{d}0\;dy=0$, то $C=0$ и $F(x)\equiv G(x)$ На $[a;b]$. Подставляя $x=b$ получаем условие теоремы.