Тор (поверхность)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Красным — образующая окружность

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её[1].

Более общее, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.

Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым[2].

Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.

История[править | править вики-текст]

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Ось тора[править | править вики-текст]

При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом[2].

Топологические свойства[править | править вики-текст]

Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.

Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.

Уравнения[править | править вики-текст]

Torus 3d.png

Параметрическое[править | править вики-текст]

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

Алгебраическое[править | править вики-текст]

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

Такая поверхность имеет четвёртый порядок.

Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.

, где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность.
Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.

Кривизна поверхности[править | править вики-текст]

Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. У тора, вложенного в четырёхмерное пространство, кривизна во всех точках равна нулю[источник не указан 131 день].

В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.

Групповая структура[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Этапы выворачивания тора
Вариант окраски участков тора
  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: .
  • Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена: .
  • Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[3]
  • Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[4]
  • Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения[править | править вики-текст]

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо
Сечения
  • При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
    • В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[5] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[6].

Многомерный тор[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция

Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Матем.энциклопедия, 1985, т.5, стр.405
  2. 1 2 Королёв Юрий Иванович. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд.. — Издательский дом "Питер", 2008. — С. 172. — 256 с. — ISBN 9785388003669.
  3. Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
  4. Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
  5. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
  6. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения

Литература[править | править вики-текст]

  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7