Кривая Персея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Кривые Персея как сечения тора плоскостью
Три кривых Персея:


Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов[2].

Впервые этот подкласс торических сечений[en] изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом[3]. Переоткрыты в XVII веке[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат[4]:

.

Другая форма уравнения в декартовых координатах:

,

в ней  — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом образован тор. При кривая состоит из двух окружностей радиуса с центрами ; при кривая вырождается в точку — начало координат, если же — то кривая состоит из пустого множества точек[3].

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую[5], симметричную относительно осей и .

Уравнение в полярных координатах:

,

или

.

Примечания[править | править код]

  1. Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
  2. 1 2 Стиллвелл, 2004, с. 43.
  3. 1 2 Мактьютор, 1997.
  4. Ряд частных случаев уравнения не является сечением тора
  5. Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература[править | править код]

  • Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Spiric Sections. MacTutor History (1 января 1997).
  • Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.