Наивная теория множеств: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) секционность |
Maqivi (обсуждение | вклад) перенесено из ст. Теория множеств, авторы указаны на странице истории изменений статьи |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Georg Cantor3.jpg|thumb|Георг Кантор в 1870 году]] |
|||
#REDIRECT [[Теория множеств#Наивная теория множеств]] |
|||
[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|Схема доказательства счётности множества рациональных чисел]] |
|||
[[Файл:Cantor-bernstein.svg|thumb|Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — Бернштейна]] |
|||
'''Наи́вная тео́рия мно́жеств''' — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в ''наивном'' её варианте является немецкий математик [[Кантор, Георг|Георг Кантор]], к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]] (продолжавшие труды [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римана]]), в которых вводит понятие [[Предельная точка|предельной точки]], близкое к современному{{Sfn|Медведев|1965|с=86—87}} и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные){{Sfn|Бурбаки|1963|c=40}}. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в [[1873 год в науке|1873 году]] Кантор обнаруживает [[Счётное множество|счётность]] множества [[Рациональное число|рациональных чисел]] и {{нп5|Первое доказательство несчётности множества вещественных чисел|решает отрицательно|en|Cantor's first uncountability proof}} вопрос о равномощности множеств [[Целое число|целых]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]] (последний результат публикует в 1874 году по настоянию [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасса]]{{Sfn|Медведев|1965|с=94—95}}{{Sfn|Кантор|1985|с=18—21|loc=2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: [http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.] — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262}}. В [[1877 год в науке|1877 году]] Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между [[Вещественное число|<math>\mathbb R</math>]] и <math>\mathbb R^n</math> (для любого <math>n>0</math>). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с [[1879 год в науке|1879 года]] вплоть до 1884 года публикует шесть статей в [[Mathematische Annalen]] с результатами исследований бесконечных точечных множеств{{Sfn|Кантор|1985|с=40—141|loc=5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884)}}{{sfn|Бурбаки|1963|c=40—41}}. |
|||
В [[1877 год в науке|1877 году]] Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — [[Поле (алгебра)|полями]], [[Модуль над кольцом|модулями]], [[Идеал (алгебра)|идеалами]], [[Кольцо (алгебра)|кольцами]], и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на [[Принцип двойственности (теория множеств)|двойственность]] операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда: |
|||
: <math>(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C)</math>, |
|||
: <math>(A-B)+(A+C) = A - (B + (A-C)</math>, |
|||
в последующих своих работах многократно используя этот результат{{Sfn|Медведев|1965|с=103—105}}. В публикации [[1878 год в науке|1878 года]] о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие [[Мощность множества|мощности множества]], доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ ({{нп5|Люрот, Якоб|Люрот|de|Jacob Lüroth}}, {{нп5|Томе, Карл|Томе|de|Carl Johannes Thomae}}, {{нп5|Нетто, Эуген|Нетто|de|Eugen Netto}}) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей{{Sfn|Медведев|1965|с=107—110}} (точное доказательство этого факта дал [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] в 1911 году). |
|||
В [[1880 год в науке|1880 году]] Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о [[Пустое множество|пустом множестве]] и метод [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Дюбуа-Реймон, Эмиль Генрих|Дюбуа-Реймон]], {{нп5|Бендиксон, Ивар|Бендиксон|se|Ivar Bendixson}}, {{нп5|Гарнак, Аксель|Гарнак|de|Axel Harnack (Mathematiker)}}, в основном в связи с вопросами об [[интеграл|интегрируемости]] функций{{Sfn|Медведев|1965|с=113—117}}. В работе [[1883 год в науке|1883 года]] Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия [[Совершенное множество|совершенного множества]] и [[Плотность множества|плотности множества]] (отличающиеся от современных, используемых в [[Общая топология|общей топологии]], но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример [[Нигде не плотное множество|нигде не плотного]] совершенного множества (известный как [[канторово множество]]){{Sfn|Медведев|1965|с=126—131}}, а также в явном виде формулирует [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезу]] (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках [[ZFC]] показана [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] в [[1963 год в науке|1963 году]]). |
|||
С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»<ref>{{книга |
|||
|автор = Dedekind, R. |
|||
|заглавие = Was sind und was sollen die Zahlen? |
|||
|оригинал = |
|||
|ссылка = http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?pn=1&url=%2Fmpiwg%2Fonline%2Fpermanent%2Feinstein_exhibition%2Fsources%2F8GPV80UY%2Fpageimg&viewMode=images&tocMode=thumbs&tocPN=1&searchPN=1&mode=imagepath&characterNormalization=reg&queryPageSize=10 |
|||
|викитека = |
|||
|место = Braunschweig |
|||
|издательство = Drud und Berlag von Friedrich Bieweg |
|||
|год = 1893 |
|||
|allpages = 60 |
|||
|тираж = |
|||
}}</ref> (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как [[арифметика Пеано]]) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована [[теорема Кантора — Бернштейна]]<ref>Доказана независимо [[Шрёдер, Эрнст|Эрнстом Шрёдером]] и {{Не переведено 2|Бернштейн, Феликс|Феликсом Бернштейном|de|Felix Bernstein}} в 1897 году</ref>, изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций{{Sfn|Медведев|1965|с=144—157|loc=14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда}}. [[Шрёдер, Эрнст|Шрёдер]] в [[1895 год в науке|1895 году]] обращает внимание на совпадение алгебры множеств и [[Логика высказываний|исчисления высказываний]], тем самым устанавливая глубокую связь между [[Математическая логика|математической логикой]] и теорией множеств. |
|||
В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств{{Sfn|Кантор|1985|с=173—245|loc=10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246}}{{Sfn|Медведев|1965|с=171—178|loc=17. Новый взлёт Кантора}}. |
|||
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были [[Герман Шварц]] и, в наибольшей степени, [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]], полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что <cite>«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»</cite>). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии{{Sfn|Медведев|1965|с=133—137}}. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады [[Адамар, Жак|Адамара]] и [[Гурвиц, Адольф|Гурвица]] на [[Международный конгресс математиков#Первый конгресс|Первом международном конгрессе математиков]] в Цюрихе ([[1897 год в науке|1897]]), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в [[Математический анализ|анализе]], а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе [[Гильберт, Давид|Гильбертом]]{{Sfn|Бурбаки|1964|с=44,49|loc=''«Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»'' — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году}}. |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания|2}} |
|||
== Литература == |
|||
* {{книга |
|||
|автор = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]] |
|||
|часть = Основания математики. Логика. Теория множеств |
|||
|ссылка часть = |
|||
|заглавие = Очерки по истории математики |
|||
|оригинал = |
|||
|ссылка = |
|||
|викитека = |
|||
|ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского) |
|||
|издание = |
|||
|место = М |
|||
|издательство = Издательство иностранной литературы |
|||
|год = 1963 |
|||
|страницы = 37—53 |
|||
|страниц = 292 |
|||
|серия = Элементы математики |
|||
|тираж = |
|||
|ref = Бурбаки |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = Г. Кантор |
|||
|заглавие = Труды по теории множеств |
|||
|оригинал = |
|||
|ссылка = |
|||
|викитека = |
|||
|ответственный = |
|||
|место = М. |
|||
|издательство = Наука |
|||
|год = 1985 |
|||
|страниц = 430 |
|||
|серия = Классики науки |
|||
|isbn = |
|||
|тираж = 3450 |
|||
|ref = Кантор |
|||
}}</ref>. |
|||
* {{статья |
|||
|автор = [[Коэн, Пол Джозеф|П. Дж. Коэн]] |
|||
|заглавие = Об основаниях теории множеств |
|||
|ссылка = http://www.mathnet.ru/links/1ade91ff5fb820b9ec5be2544b38e762/rm4418.pdf |
|||
|оригинал = P. J. Соhen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. '''13''':1 (1971), 9–15. |
|||
|язык = ru |
|||
|ответственный = [[Манин, Юрий Иванович|Ю. И. Манин]] (перевод) |
|||
|издание = [[Успехи математических наук]] |
|||
|тип = |
|||
|место = М. |
|||
|издательство = |
|||
|год = 1974 |
|||
|выпуск = 5 (179) |
|||
|том = XXIX |
|||
|номер = |
|||
|страницы = 169—176 |
|||
|issn = 0042-1316 |
|||
|ref = Коэн |
|||
|archiveurl = |
|||
|archivedate = |
|||
}} |
|||
* {{книга|автор=[[Куратовский, Казимир|К. Куратовский]], [[Мостовский, Анджей|А. Мостовский]]|заглавие=Теория множеств|ответственный=Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|ref=Куратовский, Мостовский}} |
|||
* {{книга|автор= [[Медведев, Фёдор Андреевич|Ф. А. Медведев]] |заглавие= Развитие теории множеств в XIX веке |ссылка= |викитека= |издание= |место= М. |издательство= Наука |год= 1965 |страниц=232 |тираж=2500|ref=Медведев}} |
|||
* {{книга|автор=[[Френкель, Адольф|А. Френкель]], И. Бар-Хиллел|заглавие=Основания теории множеств|ответственный=Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией [[Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич|А. С. Есенина-Вольпина]]|место=М.|издательство=Мир|год=1966|страниц=556|ref=Френкель}} |
|||
{{Разделы математики}} |
|||
[[Категория:История математики]] |
[[Категория:История математики]] |
||
[[Категория:Теория множеств]] |
[[Категория:Теория множеств]] |
||
[[Категория:Перенаправления, вместо которых желательно создать статьи]] |
|||
[[en:Naive set theory]] |
Версия от 11:05, 8 сентября 2013
Наи́вная тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному[1] и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)[2]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно[англ.] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса[3][4]. В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между и (для любого ). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств[5][6].
В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:
- ,
- ,
в последующих своих работах многократно используя этот результат[7]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[нем.], Томе[нем.], Нетто[нем.]*) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей[8] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).
В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон[сев.-саам.], Гарнак?!, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций[9]. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)[10], а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).
С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»[11] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна[12], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций[13]. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.
В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств[14][15].
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии[16]. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом[17].
Примечания
- ↑ Медведев, 1965, с. 86—87.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 94—95.
- ↑ Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
- ↑ Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40—41.
- ↑ Медведев, 1965, с. 103—105.
- ↑ Медведев, 1965, с. 107—110.
- ↑ Медведев, 1965, с. 113—117.
- ↑ Медведев, 1965, с. 126—131.
- ↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p.
- ↑ Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном?! (нем. Felix Bernstein) в 1897 году
- ↑ Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
- ↑ Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
- ↑ Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
- ↑ Медведев, 1965, с. 133—137.
- ↑ Бурбаки, 1964, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
Литература
- Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
- Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз.</ref>.
- П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств = P. J. Соhen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М., 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176. — ISSN 0042-1316.
- К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
- Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
- А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.