Наивная теория множеств: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Нет описания правки |
|||
Строка 29: | Строка 29: | ||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания|2}} Если же использовать в этих уравнениях Кантора вместо знаков прибавления, и вычитания, знаки умножения, и деления, то это равенство Кантора в них, будет выглядеть при этом несколько по другому, вот так: (А |
{{примечания|2}} Если же использовать в этих уравнениях Кантора вместо знаков прибавления, и вычитания, знаки умножения, и деления, то это равенство Кантора в них, будет выглядеть при этом несколько по другому, вот так: (А*В)/(А*С)=(А/С)*В))/А; (А/С)/(А/В)=(А/С)*В))/А |
||
== Литература == |
== Литература == |
Версия от 19:25, 8 октября 2014
Наи́вная тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному[1], и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)[2]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно[англ.] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса[3][4]). В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между и (для любого ). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств[5][6].
В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:
- ,
- ,
в последующих своих работах многократно используя этот результат[7]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[нем.], Томе[нем.], Нетто[нем.]*) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей[8] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).
В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон[сев.-саам.], Гарнак?!, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций[9]. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также строит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)[10], а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).
С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»[11] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна[12], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций[13]. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.
В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств[14][15].
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии[16]. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом[17].
Примечания
- ↑ Медведев, 1965, с. 86—87.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 94—95.
- ↑ Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
- ↑ Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40—41.
- ↑ Медведев, 1965, с. 103—105.
- ↑ Медведев, 1965, с. 107—110.
- ↑ Медведев, 1965, с. 113—117.
- ↑ Медведев, 1965, с. 126—131.
- ↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p.
- ↑ Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном?! (нем. Felix Bernstein) в 1897 году
- ↑ Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
- ↑ Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
- ↑ Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
- ↑ Медведев, 1965, с. 133—137.
- ↑ Бурбаки, 1964, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
Если же использовать в этих уравнениях Кантора вместо знаков прибавления, и вычитания, знаки умножения, и деления, то это равенство Кантора в них, будет выглядеть при этом несколько по другому, вот так: (А*В)/(А*С)=(А/С)*В))/А; (А/С)/(А/В)=(А/С)*В))/А
Литература
- Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
- Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз.</ref>.
- П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств = P. J. Соhen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М., 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176. — ISSN 0042-1316.
- К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
- Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
- А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.