Решение систем линейных алгебраических уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Если всякое решение однородной системы линейных уравнений (*0) единственным образом представляется в виде линейной комбинации столбцов (f): f1 , ... , fk - решений той же системы, то эта система столбцов (f) называется фундаментальной системой решений (ФСР) данной однородной системы линейных уравнений -- одно из возможных определений.

Свойства фундаментальной системы решений[править | править вики-текст]

а) Всякая ФСР линейно независима

б) Если две системы уравнений имеют одну и ту же ФСР, то эти системы уравнений эквивалентны

в) Любая фундаментальная система решений однородной СЛУ (*0) состоит из n - r линейно независимых решений. (n-число неизвестных, r -ранг матрицы A)

г) Всякая линейно независимая система, состоящая из n - r решений ОСЛУ (*0), является ее фундаментальной системой решений

д) Если всякое решение ОСЛУ (*) является линейной комбинацией системы (g), состоящей из n - r векторов, то (g) - ФСР(*)

Определенная однородная система линейных уравнений не имеет ФСР

Однородные системы[править | править вики-текст]

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& 0
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{0},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\qquad (1)

Нулевое решение \vec{x}=(0,\ldots,0)\! системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Logo arte.jpg Теорема (о линейном решении однородных систем).
Пусть \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^k\! — решения однородной системы (1), c_1,\ldots,c_k\! — произвольные константы. Тогда \vec{x}^*=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_k\vec{x}^k\! также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Logo arte.jpg Теорема (о структуре общего решения).
Пусть r=\mathrm{rang}A\!, тогда:
  • если r=n\!, где n\! — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;
  • если r<n\!, то существует (n-r)\! линейно независимых решений рассматриваемой системы: \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n-r}\!, причём её общее решение имеет вид: \vec{x}_{OO}=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{x}^{n-r}\!, где c_1,\ldots,c_{n-r}\! — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов \vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\! размера n\! называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

Logo arte.jpg Теорема (о ФСР).
Пусть ранг основной матрицы \mathrm{rang}A=r<n\!, где n\! — число переменных системы (1), тогда:
  • ФСР (1) существует: \vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!;
  • она состоит из k=(n-\mathrm{rang} A_{m\times n})\! векторов;
  • общее решение системы имеет вид \vec{x}_{OO}=c_1\vec{y}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{y}^{n-r}.

Замечание:
Если n=r\!, то ФСР не существует.

Пример[править | править вики-текст]

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  x_2 &+& 2x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
3x_1 &+& 2x_2 &+&  x_3 &+& 3x_4 &=& 0 \\
2x_1 &+& \frac{3}{2} x_2 &+& \frac{3}{2} x_3 &+& 2x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Перепишем её в матричном виде:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array} \right)

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\sim\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & -1 & -5 & 0\\
0 &-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right)\sim \left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует (n-r)=2\! линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

\left\{\begin{array}{ccccccccc}
x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& x_4 &=& 0\\
    & & x_2 &+& 5x_3 & &     &=&0
\end{array} \right.

Возьмём x_1\! и x_2\! в качестве главных переменных. Тогда:

\left\{\begin{array}{ccccc}
x_1 &=& 3x_3 &-& x_4 \\
x_2 &=& -5x_3 & & 
\end{array} \right.

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: x_3\! и x_4\!.

\begin{array}{c|c|c|c|c}
  & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
\vec{x}^1 & 3  & -5  &  1  &  0\\
\hline
\vec{x}^2 & -1 &  0  &  0  &  1
\end{array}

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

\vec{x}_{OO}=c_1\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!,

а вектора \vec{x}^1=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right),\;\vec{x}^2=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\! составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы[править | править вики-текст]

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{b},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)\qquad (2)

\tilde{A}_{m\times (n+1)}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_{11} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\
\ldots & & & \vdots \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right) — её расширенная матрица.

Logo arte.jpg Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть r=\mathrm{rang}A=\mathrm{rang} \tilde{A}\! (т.е. система (2) совместна), тогда:
  • если r=n\!, где n\! — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;
  • если r<n\!, то общее решение системы (2) имеет вид \vec{x}_{OH}=\vec{x}_{OO}+\vec{x}_{4H}\!, где \vec{x}_{OO}\! — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, \vec{x}_{4H}\! — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример[править | править вики-текст]

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & & 3x_3 &+&  x_4 &=& 4 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3
\end{array} \right.

Преобразуем её к
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 1
\end{array} \right.

Тогда переменные x_4=1\! и x_3=1\! обязательно будут главными, возьмём также x_2\! в качестве главной.

Заметим, что \vec{x}=\left(1,1,1,1\right)\! является частным решением.

Составим однородную систему:
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной x_1\!, получим ФСР однородной системы:

\begin{array}{c|c|c|c|c}
 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
\vec{x} & 1  & -\frac{1}{2}  &  0  &  0
\end{array}

Общее решение системы может быть записано так:

\vec{x}_{OH}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!

Литература[править | править вики-текст]

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Басистов А.А. Сборник слайдов по линейной алгебре. - 2009 г.

См. также[править | править вики-текст]