Распределение Фишера (Распределение Снедекора) Плотность вероятности Функция распределения
Обозначение
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}
Параметры
d
1
>
0
,
d
2
>
0
{\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}
Носитель
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0;+\infty )}
Плотность вероятности
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}
Функция распределения
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}
Математическое ожидание
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}
d
2
>
2
{\displaystyle d_{2}>2}
Мода
d
1
−
2
d
1
d
2
d
2
+
2
{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}
d
1
>
2
{\displaystyle d_{1}>2}
Дисперсия
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
,
{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},}
d
2
>
4
{\displaystyle d_{2}>4}
Коэффициент асимметрии
(
2
d
1
+
d
2
−
2
)
8
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
6
)
d
1
(
d
1
+
d
2
−
2
)
,
{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},}
d
2
>
6
{\displaystyle d_{2}>6}
Производящая функция моментов
не существует[ 1]
Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений .
Пусть
Y
1
,
Y
2
{\displaystyle Y_{1},Y_{2}}
независимые случайные величины , имеющие распределение хи-квадрат :
Y
i
∼
χ
2
(
d
i
)
{\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})}
d
i
∈
N
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2}
распределение случайной величины
F
=
Y
1
/
d
1
Y
2
/
d
2
{\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:
M
[
F
]
=
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}
d
2
>
2
{\displaystyle d_{2}>2}
D
[
F
]
=
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}}
d
2
>
4
{\displaystyle d_{2}>4}
Если
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
1
F
∼
F
(
d
2
,
d
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})}
Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
F
d
1
,
d
2
→
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)}
d
1
,
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty }
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle \delta (x-1)}
дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы
X
≡
1
{\displaystyle X\equiv 1}
Если
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
d
1
F
d
1
,
d
2
{\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}}
χ
2
(
d
1
)
{\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})}
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{2}\to \infty }
↑ Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27).. — Wiley, 1995. — ISBN 0-471-58494-0 .
Дискретные Абсолютно
Плотность вероятности 
Функция распределения 
![{\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b335de762ca25732cc5258f62e0264da8d9bfcb)
![{\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a39fe175b149f8ee9b19a9f877311160dbbcc7c)
