Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр

Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	5x4(3.42.5) 4x2+8x4(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J74, 2М6+М13+М6
Группа симметрии	C2v

Два́жды ко́со скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₄, по Залгаллеру — 2М₆+М₁₃+М₆).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных 4 грани окружены пятью квадратными, 6 граней — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 2 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 1 окружена двумя пятиугольными и двумя квадратными, 11 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, 8 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 10 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены тремя квадратными, другие 10 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 50 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 10 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между двумя квадратными, остальные 50 — между квадратной и треугольной.

У дважды косо скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два не противолежащих и не пересекающихся пятискатных купола (J₅), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},$

$V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.