Опоясанный двуклинник

Опоясанный двуклинник
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	24 грани 38 рёбер 16 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 4 квадрата
Конфигурация вершины	4(32.42) 4(35) 8(34.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J90, М24
Группа симметрии	D2d

Опоя́санный двукли́нник — один из многогранников Джонсона (J₉₀, по Залгаллеру — М₂₄).

Составлен из 24 граней: 20 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 12 окружены квадратной и двумя треугольными, остальные 8 — тремя треугольными.

Имеет 38 рёбер одинаковой длины. 2 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 12 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 24 — между двумя треугольными.

У опоясанного двуклинника 16 вершин. В 4 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 8 вершинах — квадратная и четыре треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если опоясанный двуклинник имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\left(4+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12{,}6602540a^{2},$

$V\approx 3{,}77763a^{3}.$

В координатах

Опоясанный двуклинник с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• $\left(\pm 1;\;0;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$
• $\left(\pm 1;\;\pm 2\xi ;\;{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$

• $\left(\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;0;\;{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$
• $\left(0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {3-4\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\right);\;-{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$
• $\left(\pm 2\xi ;\;\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$
• $\left(0;\;\pm 1;\;-2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}-{\frac {\sqrt {2+8\xi -8\xi ^{2}}}{2}}\right),$

где $\xi \approx 0{,}7671311$ — четвёртый по величине после наибольшего действительный корень уравнения

$256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23=0.$

При этом две оси симметрии многогранника будет совпадать с биссектрисами координатных углов плоскости xOy, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Опоясанный двуклинник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Опоясанный двуклинник в базе знаний Wolfram Alpha