Усечённый куб

Усечённый куб
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы	14 граней 36 рёбер 24 вершины Χ = 2
Грани	8 треугольников 6 восьмиугольников
Конфигурация вершины	3.82
Двойственный многогранник	триакисоктаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	tC
Символ Шлефли	t{4,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Усечённый куб — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 0{,}89\pi .$

Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны $\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },$ как в кубооктаэдре.

Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Метрические характеристики

Если усечённый куб имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 32{,}4346644a^{2},$

$V={\frac {1}{3}}\left(21+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 13{,}5996633a^{3}.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}7788236a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho ={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}7071068a.$

Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром $a$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен

$r_{8}={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}2071068a.$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_{8}$ и равно

$r_{3}={\sqrt {{\frac {17}{12}}+{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}6825220a.$

В координатах

Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел $(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm ({\sqrt {2}}-1)).$

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Заполнение пространства

С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрации).

Примечания

Усечённый куб, совершающий полный оборот шагами по 15°

Уличная скульптура в Вюрцбурге

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Усечённый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.