Система линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Могут обобщаться на случай бесконечного множества неизвестных.

Соглашения и определения

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$

Здесь $m$ — количество уравнений, а $n$ — количество переменных, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты $a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$ и свободные члены $b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$ предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений ($a_{ij}$) формируются по следующему соглашению: первый индекс ($i$) обозначает номер уравнения, второй ($j$) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю ($b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$), иначе — неоднородной.

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных ($m=n$). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений, является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.

Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность $n$ чисел $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$, таких что их соответствующая подстановка вместо $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.

Матричная форма

Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

или:

$Ax=b$.

Здесь $A$ — это матрица системы, $x$ — столбец неизвестных, а $b$ — столбец свободных членов. Если к матрице $A$ приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Также считается, что системы, не имеющие решений, эквивалентны.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ эквивалентна системе $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$, где $C$ — невырожденная матрица. В частности, если сама матрица $A$ — невырожденная, и для неё существует обратная матрица $A^{-1}$, то решение системы уравнений можно формально записать в виде $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$.

Методы решения

Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Некоторые прямые методы:

• Метод Гаусса
• Метод Гаусса — Жордана
• Метод Крамера
• Матричный метод
• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
• Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

$\mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime }$,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации $\mathbf {x}$ в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

$\mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime }$.

Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода:

• Основанные на расщеплении: $(M-N)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+1}=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
• Вариационного типа: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
• Проекционного типа: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf {m}$

Среди итерационных методов:

• Метод Якоби (метод простой итерации)
• Метод Гаусса — Зейделя
• Метод релаксации
• Многосеточный метод
• Метод Монтанте
• Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)
• Метод обобщённых минимальных невязок
• Метод бисопряжённых градиентов
• Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
• Квадратичный метод бисопряжённых градиентов
• Метод квази-минимальных невязок (QMR)
• Метод вращений

Ссылки

• Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5.
• Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — Москва: Мир, 1969. — 166 с.