Характер группы

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $G$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $G$ в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в $U(1)$. Все прочие гомоморфизмы в $k^{*}$ называются в таком случае квазихарактерами.

Связанные определения

• Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в $k^{*}.$

• Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.

Свойства

• Для произвольной группы $G$ множество характеров $\mathrm {Ch} (G)$ образует абелеву группу с операцией

  $\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{ab}.$

  • Эту группу называют группой характеров.

• Характеры линейно независимы, то есть если $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ — различные характеры группы G, то из равенства $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ следует, что $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

Характеры в U(1)

Основная статья: Характер (теория чисел)

Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид $\chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i}$, где $\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\circ b)$, и широко изучаются в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов ${\mathbb {Z} }_{n}$ с операцией сложения, а функция $\varphi$ линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции $\varphi$ определяет группу характеров, изоморфную группе ${\mathbb {Z} }_{n}$.

Пример

Рассмотрим ${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$

Для $\lambda =0,1,2$ определим

$\chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i}$

Множество $\left\lbrace {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\right\rbrace$ с операцией поточечного умножения образует группу характеров в $U(1)$. Нейтральным элементов этой группы является $\chi _{0}$, поскольку $\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i}}}=e^{0}=1$.

Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Для бесконечных циклических групп, изоморфных ${\mathbb {Z} }$, будет существовать бесконечное множество характеров вида ${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$, где $\alpha \in (0;1)$.

Характеры конечнопорождённых групп

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы $(G,\circ )$ также можно явно и конструктивно описать множество характеров в $U(1)$. Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка $h$ изоморфна группе ${\mathbb {Z} }_{h}$ и её характеры в $U(1)$ всегда отображаются во множество $\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace$, то для группы, представленной прямым произведением $G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s}$, циклических групп $G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$, можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

$\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots +{\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}$

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой $G$ и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

${g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}$

Свойства характеров конечных групп

Для $g\in G$ обозначим через $\chi _{g}:G\to U(1)$ характер, соответствующий элементу $g$ по описанной выше схеме.

Справедливы следующие тождества:

$\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G|,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.$

$\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x=0\end{matrix}}\right.$

Вариации и обобщения

Если $A$ — ассоциативная алгебра над полем $k$, характер $A$ — это ненулевой гомоморфизм алгебры $A$ в $k$. Если при этом $A$ — звёздная алгебра,^{[уточнить]} то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

См. также

• Двойственность Понтрягина

Литература

• Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
• Наймарк М. А. Теория представления групп. — М., 1978. — 560 с.