Мера Лебега

Ме́ра Лебе́га на $\mathbb {R} ^{n}$ — мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году.

Построение меры на прямой

Внешняя мера

Основная статья: Внешняя мера

Для произвольного подмножества $E$ числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество $E$. Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества $E$, и называется внешней мерой:

$m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.$

Варианты обозначения внешней меры:

$m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.$

Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счетной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счетная аддитивность дает $m(a,b)\leq m^{*}(a,b)$, тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры. Более того, можно привести такой пример меры на алгебре, что внешняя мера некоторого множества из этой алгебры строго меньше его исходной меры.

Свойства внешней меры

• $E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
• $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}.$
• $\forall E,\;\varepsilon >0\;\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$, где $G$ — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве $G$ взять сумму интервалов, составляющих покрытие $E$, такую что $\sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$. Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество $E$ ограничено, то внутренней мерой множества $E$ называется разность между длиной сегмента $[a,\;b]$ содержащего $E$ и внешней мерой дополнения $E$ в $[a,\;b]$:

$m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E).$

Для неограниченных множеств, $m_{*}E$ определяется как точная верхняя грань $(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E)$ по всем отрезкам $[a,\;b]$.

Измеримые множества

Множество называется измеримым по Лебегу, если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется мерой множества по Лебегу и обозначается $mE,\;\mu E,\;|E|$, $\lambda (E)$ или $mesE$.

Пример неизмеримого множества

Подробнее см. Множество Витали

Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности $\sim$ на отрезке $[0,\;1]$: $x\sim y$ если разность $x-y$ рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество $E$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть $E$ счётное число раз на все рациональные числа в интервале $[-1,1]$, то объединение будет содержать весь отрезок $[0,1]$ но при этом оно будет содержаться в отрезке $[-1,2]$. При этом «сдвинутые копии» множества $E$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения $\sim$ и $E$.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега

$1=\mu ([0;1])\leq \mu (\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leq \mu ([-1;2])=3$.

Однако, если построенное множество $E$ измеримо, это невозможно: все $\mu (E_{n})=\mu (E)$ в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, их сумма либо бесконечна (если $\mu (E)>0$), либо равна нулю (если $\mu (E)=0$).

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы допустить универсальную возможность выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

История

В своих «Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных функций» Анри Лебег заявил, что его целью было найти (неотрицательную) меру на вещественной прямой, которая существовала бы для всех ограниченных множеств и удовлетворяла бы 3 условиям:

1. Конгруэнтные множества имеют равную меру (то есть мера инвариантна относительно операций переноса и симметрий).
2. Мера счётно-аддитивна.
3. Мера интервала (0, 1) равна 1.

Конструкция Лебега охватывала обширный класс множеств вещественных чисел и определяла множество измеримых функций, более широкое, чем множество аналитических функций. При этом всякая измеримая функция допускала применение многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Уже в следующем году (1905) Дж. Витали показал, что мера, удовлетворяющая трём приведенным выше условиям, не охватывает всех ограниченных вещественных множеств: он построил множество, не имеющее меры с указанными свойствами. Более того, в 1914 году Хаусдорф доказал, что даже заменив требование счётной аддитивности на более слабое условие конечной аддитивности, мы всё равно обнаружим в трёхмерном пространстве ограниченные неизмеримые множества. Для прямой, как обнаружил Банах в 1923 году, универсальная конечно-аддитивная мера существует и даже не единственна.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э. Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909).

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

См. также

• Теорема Лебега о разложении меры
• Мера Жордана
• Мера Хаусдорфа

Литература

• Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97-112.
• Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.
• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6..