Полуправильный многогранник

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют определённые признаки как у правильных, такие как одинаковость всех граней, являемость всех граней правильными многоугольниками, пространственная симметрия. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

Архимедовы тела [править]

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);
Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности,
- Все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Каталановы тела [править]

Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

Все грани являются правильными многоугольниками;
Все грани одинаковы;
Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

Многогранник — архимедово тело	Грани	Вершины	Рёбра	Конфигурация вершины	Двойственный — каталаново тело	Группа симметрии
Кубооктаэдр	8 треугольников 6 квадратов	12	24	3,4,3,4	Ромбододекаэдр	O_h
Икосододекаэдр	20 треугольников 12 пятиугольников	30	60	3,5,3,5	Ромботриаконтаэдр	I_h
Усечённый тетраэдр	4 треугольника 4 шестиугольника	12	18	3,6,6	Триакистетраэдр	T_h
Усечённый октаэдр	6 квадратов 8 шестиугольников	24	36	4,6,6	Преломлённый куб (Тетракисгексаэдр)	O_h
Усечённый икосаэдр	12 пятиугольников 20 шестиугольников	60	90	5,6,6	Пентакисдодекаэдр	I_h
Усечённый куб	8 треугольников 6 восьмиугольников	24	36	3,8,8	Триакисоктаэдр	O_h
Усечённый додекаэдр	20 треугольников 12 десятиугольников	60	90	3,10,10	Триакисикосаэдр	I_h
Ромбокубооктаэдр	8 треугольников 18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом)	24	48	3,4,4,4	Дельтоидальный икоситетраэдр	O_h
Ромбоикосододекаэдр	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	60	120	3,4,5,4	Дельтоидальный гексеконтаэдр	I_h
Ромбоусечённый кубооктаэдр	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	48	72	4,6,8	Гекзакисоктаэдр	O_h
Ромбоусечённый икосододекаэдр	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	120	180	4,6,10	Гекзакисикосаэдр	I_h
Курносый куб	32 треугольника 6 квадратов	24	60	3,3,3,3,4	Пентагональный икоситетраэдр	O
Курносый додекаэдр	80 треугольников 12 пятиугольников	60	150	3,3,3,3,5	Пентагональный гексеконтаэдр	I