Полуправильный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют определённые признаки как у правильных, такие как одинаковость всех граней, являемость всех граней правильными многоугольниками, пространственная симметрия. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

Архимедовы тела[править | править вики-текст]

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

  • Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);
  • Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности,

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Каталановы тела[править | править вики-текст]

Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;
  • Все грани одинаковы;
  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

Многогранник — архимедово тело Грани Вершины Рёбра Конфигурация
вершины
Двойственный — каталаново тело Группа симметрии
Cuboctahedron.jpg

Кубооктаэдр
8 треугольников
6 квадратов
12 24 3,4,3,4
Rhombicdodecahedron.jpg

Ромбододекаэдр
Oh
Icosidodecahedron.jpg

Икосододекаэдр
20 треугольников
12 пятиугольников
30 60 3,5,3,5
Rhombictriacontahedron.jpg

Ромботриаконтаэдр
Ih
Truncatedtetrahedron.jpg

Усечённый тетраэдр
4 треугольника
4 шестиугольника
12 18 3,6,6
Triakistetrahedron.jpg

Триакистетраэдр
Th
Truncatedoctahedron.jpg

Усечённый октаэдр
6 квадратов
8 шестиугольников
24 36 4,6,6
Tetrakishexahedron.jpg

Преломлённый куб (Тетракисгексаэдр)
Oh
Truncatedicosahedron.jpg

Усечённый икосаэдр
12 пятиугольников
20 шестиугольников
60 90 5,6,6
Pentakisdodecahedron.jpg

Пентакисдодекаэдр
Ih
Truncatedhexahedron.jpg

Усечённый куб
8 треугольников
6 восьмиугольников
24 36 3,8,8
Triakisoctahedron.jpg

Триакисоктаэдр
Oh
Truncateddodecahedron.jpg

Усечённый додекаэдр
20 треугольников
12 десятиугольников
60 90 3,10,10
Triakisicosahedron.jpg

Триакисикосаэдр
Ih
Rhombicuboctahedron.jpg

Ромбокубоктаэдр
8 треугольников
18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом)
24 48 3,4,4,4
Deltoidalicositetrahedron.jpg

Дельтоидальный икоситетраэдр
Oh
Rhombicosidodecahedron.jpg

Ромбоикосододекаэдр
20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
60 120 3,4,5,4
Deltoidalhexecontahedron.jpg

Дельтоидальный гексеконтаэдр
Ih
Truncatedcuboctahedron.jpg

Ромбоусечённый кубооктаэдр
12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников
48 72 4,6,8
Disdyakisdodecahedron.jpg

Гекзакисоктаэдр
Oh
Truncatedicosidodecahedron.jpg

Ромбоусечённый икосододекаэдр
30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
120 180 4,6,10
Disdyakistriacontahedron.jpg

Гекзакисикосаэдр
Ih
Snubhexahedronccw.jpg

Snubhexahedroncw.jpg

Курносый куб

32 треугольника
6 квадратов
24 60 3,3,3,3,4
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg

Pentagonalicositetrahedroncw.jpg

Пентагональный икоситетраэдр

O
Snubdodecahedronccw.jpg

Snubdodecahedroncw.jpg

Курносый додекаэдр

80 треугольников
12 пятиугольников
60 150 3,3,3,3,5
Pentagonalhexecontahedronccw.jpg

Pentagonalhexecontahedroncw.jpg

Пентагональный гексеконтаэдр

I

Примеры[править | править вики-текст]

Существует две бесконечные последовательности полуправильных многогранников — правильные призмы и антипризмы.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]