Математическая логика

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.» Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).» Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов». Также А. А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы $A$, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами $A_{1},\ldots A_{n}$ выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы $A$ и $(A\to B)$, то выводима и формула $B$.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Математическая логика изучает логические связи и отношения лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода с использованием языка математики.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы математической логики

• Алгебра логики p→q↔pνq
• Логика высказываний
• Теория доказательств
• Теория моделей

См. также

• Формальная логика
• Неполнота математики
• Формальная система
• Теорема Гёделя о неполноте
• Недоказуемые утверждения
• Аксиома
• Граница множества
• Логическое программирование
• Доказательное программирование
• Логика в информатике
• язык Пролог

Литература

• Формальная логика. (Учебник.) Часть вторая. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. Отв. редактор: доц. И. Н. Бродский. -- Л.: ЛГУ, 1977.
• Марков А. А.. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. 2-ое изд. М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
• Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
• Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.

Ссылки

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов (электронные версии трёх частей книги)
• Логика математическая
• Математическая логика и цифровая вычислительная техника Меркухин Е.Н