Число Моцкина

Число Моцкина для данного числа n — это количество возможных вариантов соединения n различающихся точек на окружности непересекающимися хордами (хорды могут выходить не из каждой точки). Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина и имеют множества проявлений в геометрии, комбинаторике и теории чисел.

Числа Моцкина $M_{n}$ для $n=0,1,\dots$ формируют последовательность:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ... последовательность A001006 в OEIS

Примеры

Приведенные фигуры демонстрируют 9 способов соединить 4 точки на окружности непересекающимися хордами:

А эти показывают 21 способ соединить 5 точек:

Свойства

Числа Моцкина удовлетворяют рекуррентным соотношениям

$M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.$

Числа Моцкина могут быть выражены через биномиальные коэффициенты и числа Каталана:

$M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.$

Простое число Моцкина - это число Моцкина, которое является простым, таких известно четыре:

2, 127, 15511, 953467954114363 последовательность A092832 в OEIS

Интерпретации в комбинаторике

Число Моцкина для n также является количеством положительных целых последовательностей длины n-1, в которых начальный и конечный элементы равны 1 или 2, а разность между любыми двумя последовательными элементами равна -1, 0 или 1.

Также число Моцкина для n задает количество маршрутов из точки (0, 0) до точки (n, 0) за n шагов, если разрешено перемещаться только вправо (вверх, вниз или прямо) на каждом шагу, и запрещается опускаться ниже оси y = 0.

Например, на следующем рисунке показаны 9 допустимых путей Моцкина от (0, 0) до (4, 0):

Существует по меньшей мере четырнадцать различных проявлений чисел Моцкина в разных областях математики, которые перечислили Донаги и Шапиро в (1977)  в своём обзоре чисел Моцкина.

Гвиберт, Пергола и Пинзани в (2001) показали, что везикулярные инволюции перечислены числами Моцкина.

См. также

• Числа Деланноя
• Числа Нараяны
• Числа Шрёдера

Ссылки

• Bernhart, Frank R. (1999), "Catalan, Motzkin, and Riordan numbers", Discrete Mathematics, 204 (1–3): 73—112, doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0
• Donaghey, R.; Shapiro, L. W. (1977), "Motzkin numbers", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 23 (3): 291—301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6, MR 0505544
• Guibert, O.; Pergola, E.; Pinzani, R. (2001), "Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers", Annals of Combinatorics, 5 (2): 153—174, doi:10.1007/PL00001297, ISSN 0218-0006, MR 1904383
• Motzkin, T. S. (1948), "Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products", Bulletin of the American Mathematical Society, 54 (4): 352—360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Motzkin Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.