Правильные многомерные многогранники

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Определение[править | править вики-текст]

Флагом n-мерного многогранника P называется набор его граней F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1}), где F_i есть i-мерная грань многогранника Р, причем F_i \subseteq F_{n-1} для i= 1, 2,\dots,n-1.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник P, у которого для любых двух его флагов F и F' найдётся движение P, переводящее F в F'.


Классификация[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

Ниже приведены изображения стереографических проекций правильных четырёхмерных многогранников в трёхмерное пространство:

Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

В каждой размерности n ≥ 5 существует по 3 правильных многогранника:

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

Углы[править | править вики-текст]

Двугранный угол между смежными гранями правильного многомерного многогранника задаётся формулой:

 \sin\ {\frac{T_N}{2}}=\frac{\cos\ \frac{180^0}{W_{N-1}}}{\cos\ \frac{T_{N-1}}{2}},

где:

T_N — угол между смежными гранями правильного N-мерного многогранника,
T_{N-1} — угол грани,
 W_{N-1}\geqslant 3 — натуральное число, параметр, от которого зависит конструкция многогранника (символ Шлефли),
W_{N-1}T_{N-1}\leqslant 360^{\circ}.

Радиусы, объёмы[править | править вики-текст]

Радиус вписанной N-мерной сферы

r_N=r_{N-1}tg\ {\frac{T_N}{2}},

где r_{N-1}радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объем N-мерного многогранника

V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N,

гдеV_{N-1}объем (N-1)-мерной грани,A_{N-1}количество (N-1)-мерных граней.

Замощения[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]