Правильные многомерные многогранники

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Определение

Флагом n-мерного многогранника $P$ называется набор его граней $F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1})$, где $F_i$ есть $i$-мерная грань многогранника Р, причем $F_i \subseteq F_{n-1}$ для $i= 1, 2,\dots,n-1$.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник $P$, у которого для любых двух его флагов $F$ и $F'$ найдётся движение $P$, переводящее $F$ в $F'$.

Классификация

n = 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

• Пятиячейник (ячейка — тетраэдр).
• Тессеракт или 4-мерный куб (ячейка — куб).
• 16-ячейник (англ.) (ячейка — тетраэдр).
• 24-ячейник (англ.) (ячейка — октаэдр).
• 120-ячейник^{[убрать шаблон]} (ячейка — додекаэдр).
• 600-ячейник (англ.) (ячейка — тетраэдр).

Ниже приведены изображения стереографических проекций правильных четырёхмерных многогранников в трёхмерное пространство:

n ≥ 5

В каждой размерности n ≥ 5 существует по 3 многогранника:

• n-мерный симплекс
• n-мерный куб
• n-мерный октаэдр

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между смежными гранями правильного многомерного многогранника задаётся формулой:

$\sin\ {\frac{T_N}{2}}=\frac{\cos\ \frac{180^0}{W_{N-1}}}{\cos\ \frac{T_{N-1}}{2}}$;

$W_{N-1}T_{N-1}\leqslant 360^0$;$W_{N-1}\geqslant 3$ ;

Где $T_N$ — угол между смежными гранями правильного N-мерного многогранника,$T_{N-1}$ -угол грани,$W_{N-1}$-натуральное число, параметр, от которого зависит конструкция многогранника (Символ Шлефли).

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы $r_N=r_{N-1}tg\ {\frac{T_N}{2}}$, где $r_{N-1}$радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объем N-мерного многогранника $V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N$, где$V_{N-1}$объем (N-1)-мерной грани,$A_{N-1}$количество (N-1)-мерных граней.

n = 4

• Тессерактовые соты (англ.)
• 16-гранниковые соты (англ.)
• 24-гранниковые соты (англ.)

n ≥ 5

• Гиперкуб соты (англ.)

См. также

• Платоново тело

Ссылки

• Наглядный пример на YouTube

• Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D (2003). Архивировано из первоисточника 4 мая 2012. Проверено 30 января 2011.

• Е. Ю. Смирнов Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.