Тор (поверхность)
Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её[1].
Обобщённо, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.
Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым[2].
Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.
История
[править | править код]Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.
Ось тора
[править | править код]Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом[2].
Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.
Топологические свойства
[править | править код]Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.
Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.
Уравнения
[править | править код]Параметрическое
[править | править код]Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:
Алгебраическое
[править | править код]Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:
Такая поверхность имеет четвёртый порядок.
Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.
- , где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность.
- Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.
Кривизна поверхности
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.
Групповая структура
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Свойства
[править | править код]- Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: .
- Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена: .
- Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[3]
- Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[4]
- Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.
Сечения
[править | править код]- При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей, называемых окружностями Вилларсо.
- В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности, зацепленной за ось вращения
- Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[5] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
- Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[6].
Обобщения
[править | править код]Многомерный тор
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):
Поверхность вращения
[править | править код]Тор — частный случай поверхности вращения.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Матем.энциклопедия, 1985, т.5, стр. 405
- ↑ 1 2 Королёв Юрий Иванович. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд.. — Издательский дом "Питер", 2008. — С. 172. — 256 с. — ISBN 9785388003669. Архивировано 17 февраля 2017 года.
- ↑ Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
- ↑ Подробности приведены в статье М. Гарднера в Scientific American за март 1977. Другие парадоксы, связанные с торами, можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
- ↑ Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
- ↑ Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения . Дата обращения: 4 ноября 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.
Литература
[править | править код]- Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|