Тор (поверхность)

Красным - образующая окружность

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Ось тора

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

• Изменение расстояния до оси вращения
• 
• 
• 
• 
• 
• 

При сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центру тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной) образуются окружности Вилларсо.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

• $\left\{ \begin{matrix} x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \cos \psi \\ y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \sin \psi \\ z(\varphi,\psi) = & r \sin \varphi \\ \end{matrix} \right. \qquad \varphi, \psi \in [0,2\pi)$

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

$\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0$

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства

• Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гульдина: S = 4π²Rr.
• Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: V = 2π²Rr².
• Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.

Этапы выворачивания тора

• Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.

Вариант окраски участков тора

• Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

• При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
  • В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
• Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие

кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)

• Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Сечения

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Вариации и обобщения

• В топологии тор определяется как произведение двух окружностей $S^1\times S^1$; обобщением этого понятия является n-мерный тор $T^n=S^1\underbrace{\times \dots\times}_{n \text{ times }} S^1=\R^n/\Z^n.$

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

См. также

• Полноторие
• Цилиндрические и тороидальные шахматы