Шар

Шар

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности $S$ и объём $V$ шара радиуса $r$ (и диаметром $d=2r$) определяются формулами:

• $S=\ 4\pi r^{2}$

• $S=\ \pi d^{2}$

• $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $\left(0;0\right)$. Уравнение окружности этого круга : $x^{2}+y^{2}=R^{2}$, откуда $y^{2}=R^{2}-x^{2}$.

Функция $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Откуда $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$ Ч. т. д.

• $V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Доказательство

$d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X,\rho )$. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_{0}\in X$ и радиусом $r>0$ называется множество

$B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.$

• Замкнутым шаром с центром в $x_{0}$ и радиусом $r$ называется множество

$D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.$

Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_{0}$ также называют $r$-окрестностью точки $x_{0}$.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
• Очевидно, $B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).$
  • Например: пусть $(X,\rho )$ — дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:

$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},$

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

$V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}$,

$V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}$.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

$V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}}{n!!}}R^{n}$.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

$R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}$.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

$R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}$,

$R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}$.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности $n-2$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

$V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)$.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

$V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)$.

То же без гамма-функции:

${\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
4	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}$
8	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}$
10	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры

• Пусть $\mathbb {R} ^{d}$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

• если $d=1$ (пространство — прямая), то

$B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),$

$D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если $d=2$ (пространство — плоскость), то

  $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},$

  $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если $d=3$, то

  $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$

  $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$ метрику следующим образом:

  $\rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.$

Тогда

• если $d=2$, то $U_{r}(x_{0})$ — это открытый квадрат с центром в точке $x_{0}$ и сторонами длины ${\sqrt {2}}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если $d=3$, то $U_{r}(x_{0})$ — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

• Вычисление объема и площади шара  (неопр.). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
• Онлайн-калькуляторы  (неопр.). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
• Математические этюды  (неопр.). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара