Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть $X$ — это либо множество вещественных чисел $\mathbb {R}$, либо множество комплексных чисел $\mathbb {C}$. Тогда последовательность $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ элементов множества $X$ называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция $\left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$.
• Функция $(1/n)_{n=1}^{\infty }$ является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$.

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества $X$ можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве $X$. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве $X$ определена $N$-арная операция $f$: $f\colon X^{N}\rightarrow X$ Тогда для элементов $x_{1}=(x_{1n})_{n=1}^{\infty }$, $x_{2}=(x_{2n})_{n=1}^{\infty }$, …, $x_{N}=(x_{Nn})_{n=1}^{\infty }$ множества всех последовательностей элементов множества $X$ операция $f$ будет определяться следующим образом: $f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{Nn}\right))_{n=1}^{\infty }$

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей $(x_{n})$ и $(y_{n})$ называется числовая последовательность $(z_{n})$ такая, что $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

Разностью числовых последовательностей $(x_{n})$ и $(y_{n})$ называется числовая последовательность $(z_{n})$ такая, что $z_{n}=x_{n}-y_{n}$.

Произведением числовых последовательностей $x_{n}$ и $y_{n}$ называется числовая последовательность $(z_{n})$ такая, что $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$.

Частным числовой последовательности $x_{n}$ и числовой последовательности $y_{n}$, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{\infty }$. Если в последовательности $y_{n}$ на позиции $k\neq 1$ всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{k-1}$.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности $(x_{n})$ — это последовательность $(x_{n_{k}})$, где $(n_{k})$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности $(x_{k_{n}})$ верно, что $\forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n$.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Основная статья: Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Основная статья: Предел числовой последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  $(x_{n})$ стационарная $\Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$.

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества $X$ элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества $X$, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  $(x_{n})$ ограниченная сверху $\Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant M$.

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества $X$, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  $(x_{n})$ ограниченная снизу $\Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant m$.

• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  $(x_{n})$ ограниченная $\Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$.

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  $(x_{n})$ неограниченная $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\right)$.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

$(x_{n})$ ограниченная $\Leftrightarrow \exists A\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \colon |x_{n}|\leqslant A$.

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$, начиная с некоторого номера, зависящего от $\varepsilon$, лежат внутри интервала $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)$.
• Если за пределами интервала $\left(a,b\right)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$, то интервал $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)$ содержится в интервале $\left(a,b\right)$.
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Основная статья: Бесконечно малая и бесконечно большая

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если $(x_{n})$ — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/x_{n})$, которая является бесконечно малой. Если же $(x_{n})$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1/x_{n})$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если $(\alpha _{n})$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/\alpha _{n})$, которая является бесконечно большой. Если же $(\alpha _{n})$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1/\alpha _{n})$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества $X$, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность $(x_{n})$ сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность $(1/x_{n})$, которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность $(x_{n})$ можно представить в виде $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$, где $a$ — предел последовательности $(x_{n})$, а $\alpha _{n}$ — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная статья: Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Основная статья: Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

См. также

• Энциклопедия целочисленных последовательностей