Диаграммы Коксетера — Дынкина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Диаграмма Коксетера — Дынкина»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Диаграммы Коксетера — Дынкина для фундаментальных конечных групп Коксетера
Диаграммы Коксетера — Дынкина для фундаментальных аффинных групп Коксетера

Диаграмма Коксетера — Дынкина (или диаграмма Коксетера, граф Коксетера, схема Коксетера[1]) — это граф с помеченными числами рёбрами (называемыми ветвями), представляющими пространственные связи между набором зеркальных симметрий (или гиперплоскостей зеркальных отражений). Диаграмма описывает калейдоскопичное построение — каждая «вершина» графа представляет зеркало (грань фундаментальной области), а метки ветвей задают величину двугранного угла между двумя зеркалами (на гребне фундаментальной области, то есть на грани с размерностью ). Непомеченные ветви неявно подразумевают порядок 3.

Каждая диаграмма представляет группу Коксетера, и группы Коксетера классифицируются ассоциированными с ними диаграммами.

Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Коксетера и отличаются от них в двух отношениях — во-первых, ветви с меткой «4» и выше являются ориентированными, в то время как в диаграммах Коксетера они неориентированные, во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному (кристаллографическому[en]) ограничению, а именно, в качестве меток разрешены только 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют системе корней и используются для их классификации, а потому соответствуют полупростым группам Ли[2].

Содержание

Описание[править | править код]

Ветви диаграммы Коксетера — Дынкина помечаются рациональными числами p, соответствующими двугранным углам 180°/p. Если p = 2, угол равен 90° и зеркала никак не влияют друг на друга, так что ветвь может быть исключена из диаграммы. Если ветвь не помечена, предполагается, что p = 3, что соответствует углу 60°. Два параллельных зеркала имеют ветвь, помеченную знаком «∞». В принципе, n отражений могут быть представлены полным графом, в котором все n(n − 1) / 2 ветвей нарисованы. На практике, почти все интересные комбинации отражений содержат некоторое число прямых углов, так что соответствующие ветви могут быть исключены.

Диаграммы могут быть обозначены согласно их структуре графа. Первыми формами, которые изучал Людвиг Шлефли, были симплексы, определяемые набором взаимноперпендикулярных рёбер. Эти симплексы Шлефли назвал ортосхемами[en]. Ортосхемы возникают в различных контекстах, а особенно при рассмотрении правильных политопов и правильных сотов[en]. Плагиосхемы — это симплексы, представленные ветвящимися графами, а циклосхемы — симплексы, представленные циклическими графами.

Матрица Грама (Шлефли)[править | править код]

Любая диаграмма Коксетера имеет соответствующую матрицу Шлефли с элементами , где  — порядок ветки между парами отражений. Как матрица косинусов, она также называется матрицей Грама по имени Ёргена Грама[en]. Все матрицы Грама группы Коксетера симметричны, поскольку их корневые вектора нормализованы. Они близко связаны с матрицами Картана, которые используются в подобном контексте, но для ориентированных графов диаграмм Дынкина для случаев p = 2,3,4 и 6 и которые, в общем случае, НЕ симметричны.

Определитель матрицы Шлефли называется шлефлианом (он же грамиан) и его знак определяет, является ли группа конечной (положительный определитель), аффинной (нулевой) или неопределённой (отрицательный). Это правило называется критерием Шлефли[3].

Собственные значения матрицы Грама определяют, является ли группа Коксетера конечного типа (все значения положительны), аффинного типа (все неотрицательны, по меньшей мере одно значение равно нулю) или неопределённого типа (все остальные случаи). Неопределённый тип иногда далее разбивается на подтипы, например, на гиперболические и остальные группы Коксетера. Однако имеется много неэквивалентных определений гиперболических групп Коксетера. Мы используем следующее определение: Группа Коксетера с соответствующей диаграммой является гиперболической, если она ни конечного, ни аффинного типов, но любая связная поддиаграмма имеет либо конечный, либо аффинный тип. Гиперболическая группа Коксетера компактна, если все её подгруппы конечны (то есть имеют положительные определители) и паракомпактна, если все её подгруппы конечны или аффинны (то есть имеют неотрицательные определители)[4].

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы называются также группами Ланнера (F. Lannér), который перечислил компактные гиперболические группы в 1950-м[5], а паракомпактные группы — группами Кошуля (Koszul), или квазиланнеровыми группами. Встречаются и другие названия. Так, в статье Максвелла[6] конечные группы называются положительными, а аффинные — евклидовыми.

Группы Коксетера ранга 2[править | править код]

Для ранга 2 тип группы Коксетера полностью определён определителем матрицы Грама, поскольку он просто равен произведению его собственных значений: конечный тип (положительный определитель), аффинный тип (нулевой определитель) или гиперболический тип (отрицательный определитель). Коксетер использует эквивалентную скобочную нотацию[en], которая перечисляет последовательности порядков веток вместо графических диаграмм узел-ветвь.

Тип Конечная Аффинная Гиперболическая
Геометрия Dihedral symmetry domains 1.png Dihedral symmetry domains 2.png Dihedral symmetry domains 3.png Dihedral symmetry domains 4.png Dihedral symmetry domains infinity.png Horocycle mirrors.png Dihedral symmetry ultra.png
Коксетер CDel node c1.png
[ ]
CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png
[2]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[3]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c3.png
[4]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
[p]
CDel node c1.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel ultra.pngCDel node c3.png
[iπ/λ]
порядок 2 4 6 8 2p
Прямые отражения раскрашены соответственно узлам диаграммы Коксетера.
Фундаментальные области выкрашены в альтернативные цвета.
Диаграммы группы Коксетера ранга 2
Порядок
p
Группа Диаграмма Коксетера Матрица Грама
Определитель
(4-a21*a12)
Конечная (Определитель>0)
2 I2(2) = A1xA1 CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png [2] 4
3 I2(3) = A2 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png [3] 3
4 I2(4) = B2 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png [4] 2
5 I2(5) = H2 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png [5]
=

~1.38196601125

6 I2(6) = G2 CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png [6] 1
8 I2(8) CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png [8]

~0.58578643763

10 I2(10) CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png [10]
=

~0.38196601125

12 I2(12) CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png [12]

~0.26794919243

p I2(p) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png [p]
Аффинная (Определитель=0)
I2(∞) = = CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png [∞] 0
Гиперболическая (Определитель≤0)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png [∞] 0
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png [iπ/λ]

Геометрическое представление[править | править код]

Диаграмму Коксетера — Дынкина можно рассматривать как графическое описание фундаментальной области отражений. Зеркалом (множеством неподвижных точек отражения) является гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. (В двумерном пространстве зеркалом служит прямая, а в трёхмерном — плоскость).

Ниже показаны фундаментальные области двумерных и трёхмерных евклидовых групп, а также двумерных сферических групп. Для каждой группы диаграмма Коксетера может быть выведена путём определения гиперплоскостей и разметки их связей, игнорируя при этом двугранные углы в 90 градусов (порядок 2).

Группа Коксетера x
[4,4] [∞4,∞] [6,3] [(3,3,3)] = [3[3]]
Фундаментальная область Coxeter-Dynkin Domain T1.svg Coxeter-Dynkin Domain Q.svg Coxeter-Dynkin Domain T2.svg Coxeter-Dynkin Domain T3.svg
Диаграмма
Коксетера — Дынкина
Coxeter-Dynkin Domain DT1.svg Coxeter-Dynkin Domain DQ.svg Coxeter-Dynkin Domain DT2.svg Coxeter-Dynkin Domain DT3.svg

Группы Коксетера на евклидовой плоскости с соответствующими диаграммами. Зеркала помечены как узлы графа R1, R2, и т. д. и раскрашены соответственно порядку отражения. Отражения на 90 градусов ничего не меняют, а потому удалены из диаграммы. Параллельные отражения отмечены символом ∞. Призматическая группа x показана как удвоение , но она также может быть создана как прямоугольные области, полученные из удвоения треугольников . является удвоением треугольника .

Некоторые гиперболические калейдоскопы
Группа Коксетера [n,4] [∞n,∞] [n,3] [(n,3,3)]
Фундаментальная область Coxeter-Dynkin Domain HT1.svg Coxeter-Dynkin Domain HQ.svg Coxeter-Dynkin Domain HT2.svg Coxeter-Dynkin Domain HT3.svg
Двойственный граф (полная схема Коксетера) Coxeter-Dynkin Domain UT1.svg Coxeter-Dynkin Domain UQ.svg Coxeter-Dynkin Domain UT2.svg Coxeter-Dynkin Domain UT3.svg
Диаграмма
Коксетера — Дынкина
Coxeter-Dynkin Domain DU1.svg Coxeter-Dynkin Domain DUQ.svg Coxeter-Dynkin Domain DU2.svg Coxeter-Dynkin Domain DU3.svg
n=5,6... n=3,4... n=7,8... n=4,5


Многие группы Коксетера на гиперболической плоскости могут быть распространены из евклидова случая как серии гиперболических решений.

Coxeter-Dynkin 3-space groups.png
Группы Коксетера в трёхмерном пространстве с соответствующими диаграммами. Зеркала (треугольные грани) помечены противоположными вершинами 0..3. Ветви выкрашены соответственно порядку отражений.
заполняет 1/48 часть куба. заполняет 1/24 часть куба. заполняет 1/12 часть куба.
Coxeter-Dynkin sphere groups.png
Группы Коксетера на сфере с соответствующими диаграммами. Одна фундаментальная область выделена жёлтым цветом. Вершины области (и ветви графа) выкрашены соответственно порядку отражения.

Конечные группы Коксетера[править | править код]

См. также семейства многогранников для таблицы однородных многогранников, связанных с этими группами.
  • Для каждой группы приведены три различных обозначения — буквенно-цифровое обозначение, набор цифр в скобках и диаграмма Коксетера.
  • Разветвлённые группы Dn являются половинными или знакопеременными версиями обычных групп Cn.
  • Для разветвлённых групп Dn и En приведены обозначения с верхними индексами [3a,b,c], где числа a,b и c задают количество сегментов в каждой из трёх ветвей.
Связанные графы Дынкина с рангами от 1 до 9
Ранг Простые группы Ли Исключительные группы Ли
[en]
1 A1=[]
CDel node.png
2 A2=[3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B2=[4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
D2=A1xA1
CDel nodes.png
G2=[6]
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2=[5]
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
I2[p]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 A3=[32]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B3=[3,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D3=A3
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
E3=A2A1
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodeb.png
F3=B3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 A4=[33]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B4=[32,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D4=[31,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E4=A4
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
F4
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H4
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 A5=[34]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B5=[33,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D5=[32,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E5=D5
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
6 A6=[35]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B6=[34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D6=[33,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E6=[32,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 A7=[36]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B7=[35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D7=[34,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E7=[33,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 A8=[37]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B8=[36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D8=[35,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E8=[34,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9 A9=[38]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B9=[37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D9=[36,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10+ .. .. .. ..

Приложение для однородных политопов[править | править код]

При построении однородных многогранников узлы маркируются как активные путём добавления кружка, если генерирующая точка находится вне зеркала (гиперплоскости, относительно которой производится отражение), образуя тем самым новое ребро между генерирующей точкой и её отражением. Узлы без кружка представляют неактивные отражения, не генерирующие новых точек.

Диаграммы Коксетера — Дынкина могут явно перечислить почти все классы однородных многогранников[en] и однородных мозаик. Каждый однородный многогранник с простой зеркальной симметрией (все они, за исключением нескольких специальных случаев, имеют простую зеркальную симметрию) могут быть представлены диаграммами Коксетера — Дынкина с перестановками меток. Каждый однородный многогранник можно получить, используя такие зеркала и одну генерирующую точку — отражения создают в результате симметрии новые точки, затем можно определить рёбра многогранника между точками и их зеркальными отражениями. Грани можно построить при получении цикла из рёбер и т. д. Для задания генерирующей вершины один или более узлов помечаются кружками, что означает, что вершина не находится на зеркале(-ах), представленных помеченными кружками узлами. (Если два или более зеркала помечены, вершина располагается на равноудалённом расстоянии от них.) Зеркало активно (создаёт отражения), только для точек, не лежащих на нём. Диаграмма должна иметь по меньшей мере один активный узел для представления многогранника.

Все правильные многомерные многогранники, представленные символом Шлефли (p, q, r, …), могут иметь фундаментальные области, представленные набором n зеркал с соответствующей диаграммой Коксетера — Дынкина в виде последовательности узлов и ветвей, помеченных p, q, r, … с первым обведённым кружком узлом.

Однородные многогранники с одним кружком соответствуют генерирующим точкам в углах симплекса фундаментальной области. Два кружка соответствуют рёбрам симплекса и имеют свободу выбора, но только середина приводит к однородному решению с одинаковыми длинами рёбер. В общем случае генераторы с k-кружками являются (k-1)-мерными гранями симплекса. Если все узлы помечены кружками, генерирующая точка находится внутри симплекса.

Другой элемент разметки выражает специальный случай незеркальной симметрии однородных многогранников. Эти случаи существуют как альтернации[en] зеркальной симметрии многогранников. В этом элементе разметки отсутствует центральная точка помеченного кружком узла, который тогда называется дыркой, и означает такой узел удалённую альтернирующую вершину. Полученный многогранник будет иметь подсимметрии исходной группы Коксетера. Усечённая альтернация называется обрезком[en].

  • Отдельный узел представляет отдельное зеркало. Соответствующая группа обозначается A1. Кружок вокруг узла приводит к образованию отрезка, перпендикулярного зеркалу, и он обозначается как {}.
  • Два несвязанных узла представляют два перпендикулярных зеркала. Если оба узла обведены кружком, может быть создан прямоугольник, или квадрат, если точки расположены на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
  • Два узла, соединённых ветвью порядка n, могут создать n-угольник, если точка находится на одном из зеркал, и 2n-угольник, если точка не лежит ни на одном из зеркал. Эти два узла образуют группу I1(n).
  • Два параллельных зеркала могут представлять группу бесконечного многоугольника I1(∞), обозначаемую также Ĩ1.
  • Три зеркала в виде треугольника образуют образы, которые наблюдаются в традиционном калейдоскопе и такая конфигурация может быть представлена тремя узлами, соединёнными в треугольник. Периодические примеры будут иметь ветви, помеченные как (3 3 3), (2 4 4) и (2 3 6), хотя последние два могут быт нарисованы как прямые (удалив ветви 2). Они генерируют однородные мозаики[en].
  • Три зеркала может создать однородный многогранник[en], включая треугольники Шварца, получаемые из рациональных чисел.
  • Три зеркала, где одно зеркало перпендикулярно двум другим, могут создать однородные призмы.
Wythoffian construction diagram.png
Имеется 7 зеркальных однородных конструкций для общего треугольника, основанных на 7 топологических позициях генератора внутри фундаментальной области. Любое единичное активное зеркало имеет генератор в углу и образует ребро, для двух зеркал генератор находится на одной из сторон треугольника, а три активных зеркала имеют генератор внутри треугольника. Одна или две степени свободы можно свести к одной позиции для достижения одинаковых длин рёбер результирующего многогранника или мозаики.
Polyhedron truncation example3.png
Пример семи генераторов при октаэдральной симметрии[en] с фундаментальным треугольником (4 3 2) и восьмым генератором обрезка

Двойственные однородные многогранники иногда помечаются вертикальными чертами вместо помеченных кружками узлов, а перечёркнутый пустой узел (без внутренней точки) означает отсечение. Например, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png представляет прямоугольник (как два активных ортогональных зеркала), а CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png представляет его двойственный многоугольник[en] (ромб).

Примеры многогранников и мозаик[править | править код]

В качестве примера группа Коксетера B3 имеет схему CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Она также называется октаэдральной симметрией[en].

Имеется 7 выпуклых однородных многогранников[en], которые можно построить с помощью этой группы симметрии и 3 из её альтернационных[en] подсимметрий, каждая с единственной схемой Коксетера — Дынкина. Символ Витхоффа[en] представляет специальный случай схемы Коксетера для графов ранга 3 со всеми тремя ветвями без удаления ветвей порядка 2. Символ Витхоффа способен работать с обрезками, но не с общими альтернациями, когда не все узлы помечены кружками.

Однородные октаэдральные многогранники[en]
Симметрии: [4,3], *432[en] [4,3]+, (432) [3+,4], (3*2)[en]
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники для однородных многогранников
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Dodecahedron.svg
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Те же построения можно сделать с несвязными (ортогональными) группами Коксетера, наподобие группы однородных призм, и могут рассматриваться с большей ясностью как мозаики диэдров и осоэдров на сфере, наподобие семейств [6]×[] или [6,2]:

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия|: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} tr{6,2}[en] sr{6,2} s{2,6}
Двойственные им многогранники
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6[en] V26 V4.4.6[en] V4.4.12 V3.3.3.6[en] V3.3.3.3

По сравнению с [6,3], семейство CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png порождает два параллельных семейства 7 однородных мозаик евклидовой плоскости и их двойственных мозаик. Снова имеется 3 альтернации и несколько полусимметричных версий.

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Симметрия[en]*: [6,3], (*632) [6,3]+
(632)
[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3} s{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
63 3.122[en] (3.6)2[en] 6.6.6 36 3.4.12.4[en] 4.6.12[en] 3.3.3.3.6[en] 3.3.3.3.3.3
Двойственные им однородные мозаики
1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 4 dual.svg 1-uniform 7 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg 1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 6 dual.svg 1-uniform 3 dual.svg 1-uniform 10 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg
V63 V3.122[en] V(3.6)2[en] V63 V36 V3.4.12.4[en] V.4.6.12[en] V34.6[en] V36

На гиперболической плоскости [7,3] семейство CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png порождает два параллельных множества однородных мозаик евклидовой плоскости и двойственных им мозаик. Имеется только одна альтернация (обрезок[en]), поскольку все ветви нечётные. Много других гиперболических семейств однородных мозаик можно видеть среди однородных мозаик на гиперболической плоскости.

Аффинные группы Коксетера[править | править код]

Семейства выпуклых однородных евклидовых мозаик определяются аффинной группой Коксетера[en]. Эти группы идентичны конечным группам с добавлением одного узла. В буквенных обозначениях им даётся та же буква с тильдой («~») над буквой. Индекс относится к конечной группе, так что ранг равен индексу + 1. (Символы Витта[en] для аффинных групп даны с пометкой также)

  1. : диаграммы этого типа являются циклами. (Также Pn)
  2. ассоциирована с семейством гиперкубических правильных мозаик (3, …., 4). (Также Rn)
  3. связана с C удалением одного минора. (Также Sn)
  4. связана с C удалением двух миноров. (Также Qn)
  5. , , . (Также T7, T8, T9)
  6. образует {3,4,3,3} правильную мозаику. (Также U5)
  7. образует 30-60-90 треугольные фундаментальные области. (Также V3)
  8. состоит из двух параллельных зеркал. (= = ) (Также W2)

Составные группы можно определить как ортогональные системы. Наиболее часто используется . Так, например, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png представляет квадратные или прямоугольные области на евклидовой плоскости, а CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png представляет фундаментальную область в виде треугольной призмы в евклидовом трёхмерном пространстве.

Аффинные группы Коксетера (от 2 до 10 узлов)
Ранг (P2+) (S4+) (R2+) (Q5+) (Tn+1) / (U5) / (V3)
2 =[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
=[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
3 =[3[3]]
* CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[6,3]
* CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 =[3[4]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,3,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3−1,31,1]
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png =
5 =[3[5]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,32,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,1,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[3,4,3,3]
* CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 =[3[6]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,32,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,33,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
7 =[3[7]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,33,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,32,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[32,2,2]
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 =[3[8]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,34,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,33,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[33,3,1]
* CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 =[3[9]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,34,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[35,2,1]
* CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 =[3[10]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,36,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
11

Гиперболические группы Коксетера[править | править код]

Имеется бесконечно много бесконечных гиперболических групп Коксетера. Гиперболические группы делятся на компактные и некомпактные, где компактные группы имеют ограниченные фундаментальные области. Компактные группы гиперболических симплексов (симплексы Ланнера) существуют для рангов от 3 до 5. Паракомпактные группы симплексов (симплексы Кошуля) существуют вплоть до ранга 10. Гиперкомпактные (многогранники Винберга) группы исследовались, но полностью ещё не изучены. В 2006 Алкок (Allcock) доказал, что имеется бесконечно много компактных многогранников Винберга для пространств размерности вплоть до 6 и бесконечно много многогранников Винберга для размерностей вплоть до 19[7], так что полное перечисление невозможно. Все эти фундаментальные области отражений, как симплексов, так и не симплексов, часто называют политопами Коксетера, или, иногда, что менее аккуратно, многогранниками Коксетера.

Гиперболические группы в H2[править | править код]

Модель Пуанкаре фундаментальной области треугольников
Примеры прямоугольных треугольников [p, q]
H2checkers 237.png
[3,7]
H2checkers 238.png
[3,8]
Hyperbolic domains 932 black.png
[3,9]
H2checkers 23i.png
[3,∞]
H2checkers 245.png
[4,5]
H2checkers 246.png
[4,6]
H2checkers 247.png
[4,7]
H2checkers 248.png
[4,8]
H2checkers 24i.png
[∞,4]
H2checkers 255.png
[5,5]
H2checkers 256.png
[5,6]
H2checkers 257.png
[5,7]
H2checkers 266.png
[6,6]
H2checkers 2ii.png
[∞,∞]
Примеры треугольников общего вида [(p, q, r)]
H2checkers 334.png
[(3,3,4)]
H2checkers 335.png
[(3,3,5)]
H2checkers 336.png
[(3,3,6)]
H2checkers 337.png
[(3,3,7)]
H2checkers 33i.png
[(3,3,∞)]
H2checkers 344.png
[(3,4,4)]
H2checkers 366.png
[(3,6,6)]
H2checkers 3ii.png
[(3,∞,∞)]
H2checkers 666.png
[(6,6,6)]
H2checkers iii.png
[(∞,∞,∞)]

Двумерные гиперболические группы треугольника существуют как схемы Коксетера ранга 3, определяемые треугольником (p q r):

Существует бесконечно много компактных треугольных гиперболических групп Коксетера, включая линейные и треугольные графы. Линейные графы существуют для прямоугольных треугольников (с r=2).[8]

Компактные гиперболические группы Коксетера
Линейные Циклические
[en] [p, q], CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png:
2(p+q)<pq

CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

∞ [(p, q, r)], CDel pqr.png: p+q+r>9

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png

Паракомпактные группы Коксетера ранга 3 существуют как пределы компактных.

Линейные графы Циклические графы
  • [p,∞] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [∞,∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [(p, q,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(p,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(∞,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png

Арифметическая группа треугольника[править | править код]

Конечным подмножеством гиперболических групп треугольника являются арифметические группы. Полный список таких групп нашёл с помощью компьютера Кисао Такеучи (Kisao Takeuchi) и опубликовал в статье 1977 года «Арифметические группы треугольников»[9]. Имеется таких групп 85, из них 76 компактных и 9 паракомпактных.

Прямоугольные треугольники (p q 2) Треугольники общего вида (p q r)
Компактные группы: (76)
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 20.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png

Паракомпактные прямоугольные треугольники: (4)

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Треугольники общего вида: (39)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.pngCDel 16.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 15.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.png

Паракомпактные треугольники общего вида: (5)

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
(2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
(2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
(2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)
(2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
(3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
(4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
(5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
(6 6 6), (6 12 12), (6 24 24)
(7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)
(3,3 ∞) (3 ∞ ∞)
(4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Гиперболические многоугольники Коксетера над треугольниками[править | править код]

Фундаментальная область групп четырёхугольников
Hyperbolic domains 3222.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png or CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[∞,3,∞]
[iπ/λ1,3,iπ/λ2]
(*3222)
Hyperbolic domains 2233.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png or CDel branch.pngCDel 3a2b-cross.pngCDel nodes.png
[((3,∞,3)),∞]
[((3,iπ/λ1,3)), iπ/λ2]
(*3322)
H2chess 246a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png or CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png
[(3,∞)[2]]
[(3,iπ/λ1,3,iπ/λ2)]
(*3232)
H2chess 248a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png or CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(4,∞)[2]]
[(4,iπ/λ1,4,iπ/λ2)]
(*4242)
H2chess 246b.png
CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png


(*3333)
Области с идеальными вершинами
Hyperbolic domains i222.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[iπ/λ1,∞,iπ/λ2]
(*∞222)
Hyperbolic domains ii22.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel ia2b-cross.pngCDel nodes.png

(*∞∞22)
H2chess 24ia.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[(iπ/λ1,∞,iπ/λ2,∞)]
(*2∞2∞)
H2chess 24ib.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

(*∞∞∞∞)
H2chess 248b.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png

(*4444)

Другие H2 гиперболические калейдоскопы можно построить из многоугольников большего порядка. Подобно группам треугольника эти калейдоскопы можно идентифицировать циклической последовательностью порядков пересечений зеркал вокруг фундаментальной области, как (a b c d …), или, эквивалентно, (согласно нотации орбифолдов[en]) как *abcd…. Диаграммы Коксетера — Дынкина для этих многоугольных калейдоскопов можно рассматривать как фундаментальную область с вырожденным -мерным симплексом с циклическим порядком ветвей a, b, c…, а оставшиеся ветвей помечены как бесконечные (∞) и представляют непересекающиеся зеркала. Единственным негиперболическим примером служит симметрия четырёх зеркал (в евклидовом пространстве) квадрата или прямоугольника, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞,2,∞] (орбифолд *2222). Другое представление ветвей непересекающихся зеркал, предложенное Винбергом, показывает бесконечные ветви точечными или пунктирными линиями, так что диаграммы выглядят как CDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png с предполагаемыми четырьмя ветвями порядка 2 вокруг периметра.

Например, четырёхугольная область (a b c d) будет иметь две ветви бесконечного порядка, соединяющие ультрапараллельные зеркала. Наименьший гиперболический пример — это CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞,3,∞] или [iπ/λ1,3,iπ/λ2] (орбифолд *3222), где (λ12) является расстоянием между ультрапараллельными зеркалами. Альтернативным выражением является CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, с тремя ветвями порядка 2, предполагаемыми вокруг периметра. Подобным же образом (2 3 2 3) (орбифолд *3232) можно представить как CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png и (3 3 3 3), (орбифолд *3333) можно представить как полный граф CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png.

Наивысшей квадратной областью (∞ ∞ ∞ ∞) является бесконечный квадрат, представленный полным тетраэдральным графом с 4 ветвями по периметру как идеальные вершины, и двумя диагональными ветвями как бесконечность (показано точечными линиями) для ультрапараллельных[en] зеркал: CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png.

Компакт (группы симплексов Ланнера)[править | править код]

Компактные гиперболические группы называются группами Ланнера, по имени Фольке Ланнера, изучавшего их в 1950[10]. Группы существуют только для графов ранга 4 и 5. Коксетер изучал линейные гиперболические группы (своего имени) в статье 1954-го года Regular Honeycombs in hyperbolic space (Регулярные соты в гиперболическом пространстве)[11], в которой приведены два рациональных решения в 4-мерном гиперболическом пространстве[en]: [5/2,5,3,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png и [5,5/2,5,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Ранги 4-5[править | править код]

Фундаментальная область любой из двух расщепляющихся групп [5,31,1] и [5,3,31,1] является удвоением соответствующей линейной группы, [5,3,4] и [5,3,3,4] соответственно. Буквенные имена групп даны Джонсоном[en] как расширение символов Витта[en][12].

Компактные гиперболические группы Коксетера
Размерность
Hd
Ранг Общее число Линейные Расщепляющиеся Циклические
H3 4 9
3:[en]

= [4,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [3,5,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [5,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(33,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
= [(33,5)]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
= [(3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,4,3,5)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,5)[2]]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png

H4 5 5
3:[en]

= [33,5]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [4,3,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

= [5,3,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(34,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Паракомпакт (группы симплексов Кошуля)[править | править код]

Паракомпактные (также называемые некомпактными) гиперболические группы Коксетера содержат аффинные подгруппы и имеют симплексные в асимптотике фундаментальные области. Наивысшие паракомпактные гиперболические группы Коксетера имеют ранг 10. Эти группы названы именем французского математика Жана-Луи Кошуля[en][13]. Они же называются квазиланнеровскими группами как расширение компактных групп Ланнера. Полный список групп был найден Чейном (M. Chein) с помощью компьютера и опубликован в 1969-м[14].

Согласно Винбергу, все, кроме восьми, из этих 72 компактных и паракомпактных групп являются арифметическими. Две неарифметические группы компактны — CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png и CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. Остальные шесть неарифметических групп паракомпактны, из них пять групп являются 3-мерными (CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png и CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png), а одна является 5-мерной (CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png).

Идеальные симплексы[править | править код]

Идеальные фундаментальные области CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png, [(∞,∞,∞)] в модели Пуанкаре

Имеется 5 гиперболических групп Коксетера, отражающих идеальные симплексы, которые имеют графы, удаление любой одной вершины которых приводит к аффинной группе Коксетера. В этом случае все вершины этих идеальных симплексов находятся на бесконечности[15].

Ранг Идеальная группа Аффинные подгруппы
3 [(∞,∞,∞)] CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
4 [4[4]] CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 [3[3,3]] CDel tet.png [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
4 [(3,6)[2]] CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png [3,6] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
6 [(3,3,4)[2]] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,3,3,4], [3,4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Ранги 4-10[править | править код]

Бесконечные евклидовы ячейки наподобие шестиугольного паркета при правильном масштабировании сходятся к одной идеальной точке в бесконечности.

Существует 58 паракомпактных гиперболических групп Коксетера рангами от 4 до 10. Все 58 групп сгруппированы в пять категорий. Буквенные обозначения группам дал Джонсон[en] как Расширенные символы Витта, для чего он использовал буквы PQRSTWUV из аффинных символов Витта и добавил буквы LMNOXYZ. Над буквами обозначений гиперболических групп присутствует надчёркивание, или крышечка (для циклических схем). Скобочная нотация[en] Коксетера является линеаризированным представлением группы Коксетера.

Гиперболические паракомпактные группы
Ранг Полное
число
Группы
4 23

= [(3,3,4,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,43)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [4[4]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(33,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,4,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,5,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,6)[2]]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png

= [3,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [5,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [6,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [6,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,41,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [41,1,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [3,4,4]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [43]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,3,6]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [4,3,6]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [5,3,6]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,6,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [6,3,6]: CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

= [3[]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3,3]]: CDel tet.png

5 9

= [3,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [(32,4,3,4)]: CDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branchbranch.pngCDel split2.pngCDel node.png

= [4,3,((4,2,3))]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,32,1]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [(3,4)2]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6 12

= [3,3[5]]: CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [(35,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

= [(3,3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png

= [4,3,32,1]: CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,(3,4)1,1]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png

= [33,4,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,3,4,3,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,4,3,3,4]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [32,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,3,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [31,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

7 3

= [3,3[6]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [31,1,3,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
8 4 = [3,3[7]]:
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [33,2,2]:
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 4 = [3,3[8]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [34,3,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 3 = [31,1,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,35,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [36,2,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Связи подгрупп паракомпактных гиперболических групп[править | править код]

Нижеприведённые графы представляют связи подгрупп паракомпактных гиперболических групп. Индекс подгруппы в каждом ребре дан красным цветом[16]. Подгруппы с индексом 2 означают удаление зеркала и удвоение фундаментального домена. Другие подгруппы соизмеримы (отношение объёмов является целым числом).

H3 Hyperbolic subgroup tree 36.png Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png Hyperbolic subgroup tree 363.png Hyperbolic subgroup tree 344.png
H4 Hyperbolic subgroup tree 3434.png
H5 Hyperbolic subgroup tree 33343.png

Гиперкомпактные группы Коксетера (политопы Винберга)[править | править код]

Как и для случая гиперболической плоскости H2, имеющей нетреугольные многоугольные фундаментальные области, в более высоких размерностях существуют области, не являющиеся симплексами. Эти области можно считать вырожденными симплексами с непересекающимися зеркалами, дающими бесконечный порядок. На схемах Коксетера такие ветви отражаются точечными или пунктирными линиями. Такие области, не являющиеся симплексами, называют политопами Винберга по имени Эрнеста Винберга, разработавшего алгоритм[en] для поиска несимплексной фундаментальной области гиперболической группы отражений. Геометрически эти фундаментальные области можно классифицировать как четырёхугольные пирамиды или призмы, или другие многогранники со всеми рёбрами, имеющими на них двугранные углы π/n для n=2,3,4…

В симплексных областях имеется n+1 зеркал для n-мерного пространства. В несимплексных областях имеется более чем n+1 зеркал. Список конечен, но полностью ещё не известен. Имеются частичные списки с n+k зеркалами для k, равных 2,3 и 4.

Гиперкомпактные группы Коксетера в трёхмерном пространстве и выше отличаются от двумерных групп в одном существенном отношении. На плоскости два гиперболических n-угольника, имеющие те же самые углы в некотором циклическом порядке, могут иметь различные длины рёбер, и, в общем случае, не конгруэнтны. Политопы Винберга в 3-мерном пространстве и выше полностью определяются двугранными углами. Этот факт базируется на теореме жёсткости Мостова, утверждающей, что две изоморфные группы, образованные отражениями в Hn для n>=3, определяют конгруэнтные фундаментальные области (политопы Винберга).

Политопы Винберга ранга n+2 для n-мерного пространства[править | править код]

Полный список политопов Винберга с рангом зеркал n+2 для n-мерных пространств был дан Эссельманом (F. Esselmann) в 1996[17]. Частичный список опубликовала в 1974 И. М. Каплинская[18].

Полный список паракомпактных решений опубликовал П. В. Тумаркин в 2003 для размерностей от 3 до 17[19].

Наименьший паракомпакт в H3 можно представить как CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png или [∞,3,3,∞], и он может быть построен путём удаления зеркала из паракомпактной гиперболической группы [3,4,4]. Удвоенная фундаментальная область превращается из тетраэдра в четырёхугольную пирамиду. Другие пирамиды включают [4,4,1+,4] = [∞,4,4,∞], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png. Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Коксетера превращает их в галстуки-бабочки: [(3,3,4,1+,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3))] или CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, [(3,4,4,1+,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))] или CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, [(4,4,4,1+,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))] или CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png.

Другие паракомпактные графы с фундаментальными областями в виде четырёхугольных пирамид включают:

Размерность Ранг Графы
H3 5
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-66.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel split1.png