Дельтоидальный икоситетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дельтоидальный икоситетраэдр
Дельтоидальный икоситетраэдр
(Здесь можно посмотреть вращающуюся модель)
Тип Полуправильный многогранник
(каталаново тело)
Грань дельтоид:Грань дельтоидального икоситетраэдра
Граней 24
Рёбер 48
Вершин 26
Граней при вершинах 3 при 8 вершинах,
4 при 18 вершинах
Группа симметрии Октаэдрическая (Oh)
Двойственный многогранник Ромбокубооктаэдр
Развёртка Deltoidalicositetrahedron net.png

Дельтоида́льный икоситетра́эдр (от «дельтоид» и др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре», ἕδρα — «грань»), также называемый тетрагонтриокта́эдром (от др.-греч. τέτταρες — «четыре», γωνία — «угол», τρία — «три», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбокубооктаэдру.

Составлен из 24 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 26 вершин. В 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани своими тупыми углами; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, противоположными тупому; в остальных 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, соседними с тупым.

Имеет 48 рёбер — 24 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова октаэдра) и 24 «коротких» (образующих «раздутый» остов куба).

Метрические характеристики и углы[править | править вики-текст]

Грань дельтоидального икоситетраэдра

Если «короткие» рёбра дельтоидального икоситетраэдра имеют длину b, то его «длинные» рёбра имеют длину

a = \frac{1}{2}\left(4-\sqrt2\right)b \approx 1,2928932b.

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S = 6\sqrt{29-2\sqrt2}\;b^2 \approx 30,6948957b^2,
V = \sqrt{122+71\sqrt2}\;b^3 \approx 14,9133887b^3.

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей) при этом будет равен

r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{17}\left(78+47\sqrt2\right)}\;b \approx 1,4575767b,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

\rho = \frac{1}{4}\left(2+3\sqrt2\right)b \approx 1,5606602b,

радиус окружности, вписанной в грань —

r_{\Gamma\Rho} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{34}\left(31+8\sqrt2\right)}\;b \approx 0,5577905b,

бо́льшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

e = \frac{1}{2}\sqrt{10+\sqrt2}\;b \approx 1,6892464b,

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

f = \frac{1}{2}\sqrt{12-2\sqrt2}\;b \approx 1,5142302b.

Описать около дельтоидального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Тупой угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен \arccos \left(-\frac{2+\sqrt2}{8}\right) \approx 115,26^\circ; три острых угла грани равны \arccos \, \frac{2-\sqrt2}{4} \approx 81,58^\circ.

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен \arccos \left(-\frac{7+4\sqrt2}{17}\right) \approx 138,12^\circ.

В природе и культуре[править | править вики-текст]

В форме дельтоидального икоситетраэдра встречаются кристаллы анальцима, лейцита, спессартина, андрадита, иногда — граната.

Дельтоидальный икоситетраэдр играет важную роль в рассказе Говарда Лавкрафта «Обитающий во Тьме», где фигурирует под принятым в кристаллографии названием «trapezohedron». В стереометрии словом «трапецоэдр» обозначается другой многогранник.

Ссылки[править | править вики-текст]