Мера Лебега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Лебегова мера»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ме́ра Лебе́гамера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств[1].

В частности, мера Лебега отрезка на вещественной прямой равна его длине, мера Лебега многоугольника на плоскости равна его площади.

Была введена французским математиком Анри Лебегом в 1902 году в своей диссертационной работе.

Построение на полукольце

[править | править код]

Внешняя мера

[править | править код]

Пусть счётно-аддитивная мера на полукольце с единицей . Для произвольного подмножества назовём покрытиями системы из конечного или счётного числа множеств , объединение которых содержит множество . Так как сумма мер множеств, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество сумм мер всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества , и называется внешней мерой:

Варианты обозначения внешней меры:

Свойства внешней меры

[править | править код]
  • (счётная полуаддитивность)
  • (монотонность) Необходимо в качестве взять . Из полуаддитивности последует требуемое.
  • где симметрическая разность множеств и . Достаточно лишь заметить, что и Из полуаддитивности получим желаемую систему неравенств.
  • , где лежит в порождённом кольце . Действительно, достаточно в качестве взять объединение множеств, составляющих покрытие , такое что . Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

[править | править код]

Если множество ограничено, то внутренней мерой множества называется разность между мерой содержащего элемента порождённого кольца и внешней мерой дополнения в этом элементе:

Для неограниченных множеств, определяется как точная верхняя грань по всем элементам кольца.

Измеримые множества

[править | править код]

Множество называется измеримым по Лебегу, если для любого существует такое , лежащее в порождённом кольце , что Система всех измеримых множеств обозначается

Для измеримого мера Лебега по определению равна и обозначается , , , или .

Свойства системы измеримых множеств

[править | править код]
  • Критерий измеримости по Лебегу. Множество измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внешняя и внутренняя меры равны, то есть:
  • Любой элемент порождённого кольца измерим, и его мера Лебега равна стандартной:
  • сигма-алгебра, а мера Лебега — счётно-аддитивная мера на ней.
  • Если у множества нулевая мера, любое его подмножество измеримо, то есть: Согласно монотонности внешней меры, , откуда Теперь достаточно взять Тогда для любого .

Частные случаи

[править | править код]

Меру Лебега можно определить для любого . Достаточно рассмотреть систему -мерных открытых интервалов (-мерных параллелепипедов), содержащую . Эта система очевидно замкнута относительно пересечения; третье условие существования непересекающихся множеств, дополняющих данное подмножество до исходного также нетрудно доказать. Так что система интервалов является полукольцом. Мерой в этом кольце является -мерный объём, который счётно-аддитивен.

Одним из самых распространённых частных случаев является мера Лебега на прямой, построенной на основе кольца открытых промежутков с длиной в качестве меры.

Пример неизмеримого множества

[править | править код]

Пример неизмеримого по Лебегу множества на прямой построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на отрезке : если разность рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть счётное число раз на все рациональные числа в интервале , то объединение будет содержать весь отрезок , но при этом оно будет содержаться в отрезке . При этом «сдвинутые копии» множества не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения и .

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

Однако, если построенное множество измеримо, это невозможно: все в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда

либо бесконечна (если ), либо равна нулю (если ); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество неизмеримо; то есть функция меры на не распространяется.

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

Мера Лебега удовлетворяет следующим двум условиям:

  • Мера единичного куба равна единице.
  • Меры конгруэнтных множеств равны между собой.

Более того

  • Измеримые множества образуют максимальный (по включению) класс множеств на которых эти два условия определяют единственную меру.

В своих «Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных функций» (1904 год) Анри Лебег заявил, что его целью было найти (неотрицательную) меру на вещественной прямой, которая существовала бы для всех ограниченных множеств и удовлетворяла бы трём условиям:

  1. Конгруэнтные множества имеют равную меру (то есть мера инвариантна относительно операций переноса и симметрий).
  2. Мера счётно-аддитивна.
  3. Мера интервала (0, 1) равна 1.

Конструкция Лебега охватывала обширный класс множеств вещественных чисел и определяла множество измеримых функций, более широкое, чем множество аналитических функций. При этом всякая измеримая функция допускала применение многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Уже в следующем году (1905) Дж. Витали показал, что мера, удовлетворяющая трём приведенным выше условиям, не охватывает всех ограниченных вещественных множеств: он построил множество, не имеющее меры с указанными свойствами. Более того, в 1914 году Хаусдорф доказал, что даже заменив требование счётной аддитивности на более слабое условие конечной аддитивности, мы всё равно обнаружим в трёхмерном пространстве ограниченные неизмеримые множества. Для прямой, как обнаружил Банах в 1923 году, универсальная конечно-аддитивная мера существует и даже не единственна[2].

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э. Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909).

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

[править | править код]
  • Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97—112.
  • Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.
  • Б. М. Макаров, А. Н. Подкорытов. Лекции по вещественному анализу. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-9775-0631-1.
  • Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — С. 271—274.

Примечания

[править | править код]
  1. Мера // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 636—645. — 1184 с.
  2. Брылевская Л. И., 1986, с. 100.