Пятнадцатиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пятнадцатиугольник
Regular polygon 15 annotated.svg
Правильный пятнандцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 15
Символ Шлефли {15}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D15)
Внутренний угол 156°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Пятнадцатиугольник — это многоугольник с пятнадцатью сторонами.

Правильный пятнадцатиугольник[править | править код]

Правильный пятнадцатиугольник представлен символом Шлефли {15}.

Правильный пятнадцатиугольник имеет внутренние углы 156° и с стороной a пятнадцатиугольник имеет площадь, задаваемую формулой

Использование[править | править код]

3.10.15 vertex.png
Правильный треугольник, десятиугольник и пятнадцатиугольник могут полностью закрыть вершину на плоскости.

Построение[править | править код]

Поскольку 15 = 3 × 5 является произведением различных простых чисел Ферма, правильный пятнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: Следующие построения правильного пятнадцатиугольника с заданной описывающей окружностью аналогично иллюстрации для утверждения XVI в книге IV Начал Евклида[1].

Regular Pentadecagon Inscribed in a Circle.gif

Сравнение построения с построением Евклида см. на рисунке Пятнадцатиугольник

В построении для заданной описывающей окружности: равна стороне равностороннего треугольника, а равна стороне правильного пятиугольника[2]. Точка делит радиус в пропорции золотого сечения:

Сравнение с первой анимацией (с зелёными прямыми) приведено на следующих двух рисунках. Две дуги (для углов 36° и 24°) смещены против часовой стрелки. Построение не использует отрезок , а вместо него использует отрезок как радиус для второй дуги (угол 36°).

01-Fünfzehneck01-FünfzehneckAnimation

Построение с помощью циркуля и линейки для заданной длины стороны. Построение почти такое же, что и для построения пятиугольника по заданной стороне, оно также начинается с создания отрезка как продолжения стороны, здесь , который делится в пропорции золотого сечения:

Радиус описанной окружности
Длина стороны
Угол


Симметрия[править | править код]

Симметрии правильного пятнадцатиугольника показаны цветом на рёбрах и вершинах. Прямые отражений показаны синим цветом. Вращения задаются числами в центре. Вершина выкрашены согласно симметрии.

Правильный пятнадцатиугольник имеет диэдральную симметрию порядка 30 (Dih15), представленную 15 прямыми зеркального отражения. Dih15 имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih5, Dih3 и Dih1. А кроме того, ещё четыре циклические симметрии — Z15, Z5, Z3 и Z1, где Zn представляет π/n вращательную симметрию.

В пятнадцатиугольнике имеется 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначил симметрии буквами с указанием порядка симметрии после буквы[3]. Он обозначил через r30 полную симметрию отражений Dih15, обозначил через d (diagonal = диагональ) отражения относительно прямых, проходящих через вершины, через p отражения относительно прямых, проходящих через середины рёбер (perpendicular = перпендикуляр), а для пятнадцатиугольника с нечётным числом вершин использовал букву i (для зеркал через вершину и середину ребра) и букву g для циклической симметрии. Символ a1 означает отсутствие симметрии.

Эти низкие степени симметрий определяют степени свободы в определении неправильных пятнадцатиугольников. Только подгруппа g15 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как обладающая ориентированными рёбрами.

Пентадекаграммы[править | править код]

Существует три правильных звезды: {15/2}, {15/4}, {15/7} на тех же самых 15 вершинах правильного пятнадцатиугольника, но соединённых через одну, через три или через шесть вершин.

Есть также три правильных звёздчатых фигуры[en]: {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая состоит из трёх пятиугольников, вторая состоит из пяти правильных треугольников, а третья состоит из трёх пентаграмм.

Составную фигуру {15/3} можно рассматривать как двухмерный эквивалент трёхмерного соединения пяти тетраэдров.

Picture Regular star polygon 15-2.svg
{15/2}
CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Regular star figure 3(5,1).svg
{15/3} or 3{5}
Regular star polygon 15-4.svg
{15/4}
CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
Regular star figure 5(3,1).svg
{15/5} or 5{3}
Regular star figure 3(5,2).svg
{15/6} or 3{5/2}
Regular star polygon 15-7.svg
{15/7}
CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel rat.pngCDel 7.pngCDel node.png
Внутренний угол[en] 132° 108° 84° 60° 36° 12°

Более глубокие усечения правильного пятнадцатиугольника и пентадекаграмм могут дать изогональные (вершинно транзитивные) промежуточные звёздчатые многоугольники, образованные вершинами, находящимися на одинаковом расстоянии, и двумя длинами рёбер[4].

Многоугольники Петри[править | править код]

Правильный пятнадцатиугольник является многоугольником Петри для некоторого многогранника высокой размерности, полученного ортогональной проекцией:

14-simplex t0.svg
14-симплекс (14D)

Он также является многоугольником Петри для большого 120-ячейника[en] и великого звёздчатого 120-ячейника[en].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • William Dunham. Journey through Genius - The Great Theorems of Mathematics. — Penguin, 1991. the University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
  • Johannes Kepler. WELT-HARMONIK / translated and initiated by MAX CASPAR 1939. — Google Books, 1939.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // . — The Symmetries of Things, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.

Ссылки[править | править код]