Двадцатиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node 1.png
Вид симметрии Диэдрическая группа ()
Площадь
Внутренний угол
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Двадцатиугольник - это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет .

Правильный двадцатиугольник[править | править код]

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли , и может быть построен как усечённый десятиугольник, , или дважды усечённый пятиугольник, .

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен , а это значит, что каждый из внешних углов равен .

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны равна

Площадь многоугольника, выраженная через радиус его описанной окружности равна

Поскольку площадь круга равна правильный двадцатиугольник заполняет примерно своей описанной окружности.

Точка на плоскости может быть полностью окружена правильным двадцатиугольником, квадратом и правильным пятиугольником.

Построение[править | править код]

Так как , правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Построение двадцатиугольника при помощи циркуля и линейки

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике[править | править код]

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны
  • При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром и радиусом , разделяет сегмент в отношении, равном золотому сечению.

Симметрия[править | править код]

Группы симметрий правильного двадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу . В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ( и ), и шесть циклических подгрупп ( и ). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.[1] Вся группа симметрий названа , а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как . Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ( — diagonal), только через рёбра ( — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой ). Циклические симметрии обозначены буквой (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу . Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны[en] друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения[править | править код]

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов
20-gon rhombic dissection-size2.svg
Правильное разбиение
Isotoxal 20-gon rhombic dissection-size2.svg
Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон (-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на параллелограммов[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника , а значит, его можно разбить на параллелограммов: квадратов и набора ромбов — по в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с гранями из . Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений -угольника равно , если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов
10-cube.svg
Декеракт
20-gon-dissection.svg 20-gon rhombic dissection2.svg 20-gon rhombic dissectionx.svg 20-gon-dissection-random.svg

Связанные многоугольники[править | править код]

Икосаграммазвёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли . Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли , и . Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: , , , , и .

n 1 2 3 4 5
Форма Выпуклый многоугольник Составной Звёздчатый многоугольник Составной
Фото Regular polygon 20.svg
Regular star figure 2(10,1).svg
Regular star polygon 20-3.svg
Regular star figure 4(5,1).svg
Regular star figure 5(4,1).svg
Внутренний угол
n 6 7 8 9 10
Форма Выпуклый многоугольник Составной Звёздчатый многоугольник Составной
Фото Regular star figure 2(10,3).svg
Regular star polygon 20-7.svg
Regular star figure 4(5,2).svg
Regular star polygon 20-9.svg
Regular star figure 10(2,1).svg
Внутренний угол

Примечания[править | править код]

  1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
  2. Коксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141