Двадцатиугольник

Двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	$20$
Символ Шлефли	$\{20\},\mathrm {t} \{10\},\mathrm {tt} \{5\}$
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа ($D_{20}$)
Площадь	$5t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})$
Внутренний угол	$162^{\circ }$
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный, изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Двадцатиугольник - это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами.

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли $\{20\}$, и может быть построен как усечённый десятиугольник, $\mathrm {t} \{10\}$, или дважды усечённый пятиугольник, $\mathrm {tt} \{5\}$.

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен $162^{\circ }$, а это значит, что каждый из внешних углов равен $18^{\circ }$.

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны $t$ равна

$A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687\cdot t^{2}.$

Площадь многоугольника, выраженная через радиус $R$ его описанной окружности равна

$A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);$

Поскольку площадь круга равна $\pi R^{2},$ правильный двадцатиугольник заполняет примерно $98,36~\%$ своей описанной окружности.

Точка на плоскости может быть полностью окружена правильным двадцатиугольником, квадратом и правильным пятиугольником.

Построение

Так как $20=2^{2}\cdot 5$, правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Построение двадцатиугольника при помощи циркуля и линейки

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны

• При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром $C$ и радиусом ${\overline {CD}}$, разделяет сегмент ${\overline {E_{20}F}}$ в отношении, равном золотому сечению.

${\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618$

Симметрия

Группы симметрий правильного двадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу $\mathrm {D} _{20}$. В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ($\mathrm {D} _{10},\mathrm {D} _{5},\mathrm {D} _{4},\mathrm {D} _{2}$ и $\mathrm {D} _{1}$), и шесть циклических подгрупп ($\mathrm {Z} _{20},\mathrm {Z} _{10},\mathrm {Z} _{5},\mathrm {Z} _{4},\mathrm {Z} _{2}$ и $\mathrm {Z} _{1}$). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из $16$ элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком. Вся группа симметрий названа $\mathrm {r} 40$, а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как $\mathrm {a} 1$. Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ($\mathrm {d}$ — diagonal), только через рёбра ($\mathrm {p}$ — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой $\mathrm {i}$). Циклические симметрии обозначены буквой $\mathrm {g}$ (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу $\mathrm {D} _{20}$. Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям $\mathrm {d} 20$ (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и $\mathrm {p} 20$ (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон ($2m$-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на $m(m-1)/2$ параллелограммов. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника $m=10$, а значит, его можно разбить на $45$ параллелограммов: $5$ квадратов и $4$ набора ромбов — по $10$ в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с $45$ гранями из $11520$. Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений $20$-угольника равно $18410581880$, если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли $\{20/n\}$. Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли $\{20/3\}$, $\{20/7\}$ и $\{20/9\}$. Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: $2\{10\}$, $4\{5\}$, $5\{4\}$, $2\{10/3\}$, $4\{5/2\}$ и $10\{2\}$.

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	$\{20/1\}=\{20\}$	$\{20/2\}=2\{10\}$	$\{20/3\}$	$\{20/4\}=4\{5\}$	$\{20/5\}=5\{4\}$
Внутренний угол	$162^{\circ }$	$144^{\circ }$	$126^{\circ }$	$108^{\circ }$	$90^{\circ }$
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	$\{20/6\}=2\{10/3\}$	$\{20/7\}$	$\{20/8\}=4\{5/2\}$	$\{20/9\}$	$\{20/10\}=10\{2\}$
Внутренний угол	$72^{\circ }$	$54^{\circ }$	$36^{\circ }$	$18^{\circ }$	$0^{\circ }$

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.

Квазирегулярный					Квазирегулярный
t{10}={20}					t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}					t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри

Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в ортогональных проекциях на плоскость Коксетера:

A19	B10		D11	E8	H4	½2H2	2H2
19-симплекс	10-ортоплекс	Декеракт	11-полукуб	(421)	Шестисотячейник	Великая антипризма	10-10 дуопирамида	10-10 дуопризма

Он также является многоугольником Петри для икосаэдрального 120-ячейника, малого звездчатого 120-ячейника, великого икосаэдрического 120-ячейника и большого великого 120-ячейника.