Восемнадцатиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Восемнадцатиугольник
Regular polygon 18 annotated.svg
Правильный восемнадцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 18
Символ Шлефли {18}, t{9}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node 1.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D18) порядок 2×18
Внутренний угол (градусы) 160°
Свойства выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Восемнадцатиугольник — это многоугольник с восемнадцатью сторонами[1].

Правильный восемнадцатиугольник[править | править код]

Правильный восемнадцатиугольник имеет символ Шлефли {18} и может быть построен как квазирегулярный усечённый девятиугольник, t{9}, в котором перемежаются два типа сторон.

Построение[править | править код]

Имея 18 = 2 × 32 сторон, правильный восемнадцатиугольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки[2]. Однако его можно построить с помощью невсиса, или трисекции угла с использованием томагавка.

Точное построение восемнадцатиугольника, основанное на трисекции угла 120° с помощью томагавка. Анимация длится 1м 34с.

Следующее приближённое построение очень близко к построению девятиугольника, поскольку восемнадцатиугольник может быть построен путём усечения девятиугольника. Построение возможно сделать с помощью только циркуля и линейки.

01-Achtzehneck-Animation.gif
Уменьшаем угол AMC (60°) с помощью четырёх делений угла пополам и строим треть дуги MON с помощью приближённого деления угла между w3 и w4.
Для этого проводим прямую через точки O и N, на этой прямой откладываем отрезок OP, равный ON, и строим на полученном отрезке точку Q, так что длина OR равна трети ON.
Теперь проводим окружность с центром в точке Q и находим пересечение этой окружности с дугой NO, получаем точку R.
Проводим прямую через точку R и центр окружности M. Эта прямая отсекает от исходной окружности дугу, примерно равную 1/18 полной длины окружности.
= 19,999999994755615...°
360° ÷ 18 = 20°
- 20° = -5,244...E-9°
Пример, иллюстрирующий точность построения:
Если взять окружность с радиусом r = 100000 км, абсолютная ошибка длины стороны будет примерно -9 мм.
См. также Построение девятиугольника (на немецком)
В построении, приведённом на этом сайте, угол JMR равен углу AMR в приведённом построении восемнадцатиугольника.

Симметрия[править | править код]

Симметрии правильных восемнадцатиугольников. Вершины окрашены согласно их симметриям. Синие зеркала проведены через вершины, а фиолетовые — через середины сторон. Порядок группы вращений указан в центре фигуры.

Правильный восемнадцатиугольник имеет симметрию Dih18 порядка 36. Имеется 5 типов подгрупп диэдральной симметрии: Dih9, (Dih6, Dih3) и (Dih2, Dih1), а также 6 циклических групп симметрии: (Z18, Z9), (Z6, Z3) и (Z2, Z1).

Справа на рисунке можно видеть 15 симметрий восемнадцатиугольника. Конвей использовал для обозначения симметрий буквы вместе с порядком группы[3]. Полная симметрия правильной фигуры будет равна r36, а отсутствие симметрии отмечается как a1. Диэдральные симметрии делятся по тому, проходят они через вершины (используется буква d, от «diagonal») или через середины сторон (используется буква p, от «perpendicular»). Если же оси симметрии проходит через вершины и середины сторон, используется буква i. Циклические симметрии помечаются буквой g (от «gyration»).

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g18 не даёт свободы, но стороны многоугольника могут рассматриваться как имеющие направление.

Использование[править | править код]

3.9.18 vertex.png
Правильный треугольник, девятиугольник и восемнадцатиугольник могут полностью окружить точку на плоскости, являясь одной из 17 комбинаций правильных многоугольников с таким свойством[4]. Однако эта комбинация не может быть использована для архимедова замощения плоскости — треугольник и девятиугольник имеют нечётное число сторон, ни одна из этих фигур не может быть окружена чередующимися другими двумя типами многоугольников.

Правильные восемнадцатиугольники могут замощать плоскость, оставляя вогнутые шестиугольные бреши. Другое замощение использует девятиугольники и невыпуклые восьмиугольники. Первая мозаика связана с усечённой шестиугольной мозаикой[en], а вторая — с усечённой тришестиугольной мозаикой[en].

Regular octadecagon concave hexagon tiling.png 18-gon 9-gon concave octagonal gap tiling2.png

Связанные фигуры[править | править код]

Звёздчатые 18-угольники имеют символы {18/n}. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: {18/5} и {18/7}. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: {18/2} эквивалентен 2{9} (двум девятиугольникам), {18/3} эквивалентен 3{6} (трём шестиугольникам), {18/4} и {18/8} эквивалентны 2{9/2} и 2{9/4} (двум эннеаграммам), {18/6} эквивалентен 6{3} (6 равносторонним треугольникам), и, наконец, {18/9} эквивалентен 9{2} (девять двуугольников).

Более глубокие усечения правильного многоугольника и правильной эннеаграммы дают равноугольные (вершинно-транзитивные) промежуточные восемнадцатиугольники с находящимися на равном расстоянии вершинами и двумя длинами сторон. Другие усечения дают двойное покрытие: t{9/8}={18/8}=2{9/4}, t{9/4}={18/4}=2{9/2}, t{9/2}={18/2}=2{9} [5].

Многогранники Петри[править | править код]

Правильный восемнадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в косоортогональных проекциях на плоскость Коксетера[en]:

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Henry Adams. Cassell's Engineer's Handbook: Comprising Facts and Formulæ, Principles and Practice, in All Branches of Engineering. — D. McKay, 1907. — С. 528.
  • John B. Conway. Mathematical Connections: A Capstone Course. — American Mathematical Society, 2010. — С. 31. — ISBN 9780821849798.
  • L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry. — Springer, 2002. — С. 86. — ISBN 9781930190092.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K.Guy, Robert E. Woodrow. — The Mathematical Association of America, 1994. — (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X.
  • Elmslie William Dallas. The Elements of Plane Practical Geometry, Etc. — John W. Parker & Son, 1855.

Ссылки[править | править код]