Золотой прямоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Золотой прямоугольник с длинной стороной a и короткой b, помещённый рядом с квадратом со стороной a, даёт подобный золотой прямоугольник с длинной стороной a + b и короткой стороной a. Это иллюстрирует отношение

Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, , или (греческая буква фи), где φ примерно равно 1,618.

Построение[править | править код]

Метод построения золотого прямоугольника. Квадрат выделен красным цветом. Результирующие размеры находятся в золотой пропорции.

Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:

  1. Строим обычный квадрат.
  2. Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.
  3. Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.
  4. Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.

Связь с правильными многоугольниками и многогранниками[править | править код]

Отличительной особенностью фигуры является то, что после удаления квадрата оставшаяся часть остаётся золотым прямоугольником, сохраняя то же самое отношение геометрических размеров[en]. Удаление квадратов можно продолжать бесконечно, при этом соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотой спирали, единственной логарифмической спирали с этим свойством.

Три золотых прямоугольника в икосаэдре

Другое построение золотого прямоугольника использует три правильных многоугольника, вписанных в одинаковые окружности — десятиугольник, шестиугольник и пятиугольник. Соответствующие длины сторон a, b и c этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a2 + b2 = c2, так что отрезки с этими длинами образуют прямоугольный треугольник[en] (согласно теореме Пифагора). Отношение длины стороны шестиугольника к длине стороны десятиугольника равно золотому сечению, так что треугольник образует половину золотого прямоугольника[1].

Выпуклая оболочка двух противоположных рёбер правильного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Двенадцать вершин икосаэдра можно разбить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых образуют кольца Борромео[2].

Приложения[править | править код]

Согласно популяризатору астрофизики и математики Марио Ливио, после публикации книги Пачоли О божественной пропорции в 1509 году[3], когда золотая пропорция стала известна художникам без излишней математики[4], многие художники и архитекторы были очарованы золотым сечением и оно принято ими как эстетически приятное. Пропорции золотого прямоугольника были известны и до публикации Пачоли[5]: такие архитектурные шедевры, как Парфенон в Афинах или Альгамбра в Гранаде явно использовали пропорции золотого прямоугольника.

  • Вилла Штейн[en] (1927) архитектора Ле Корбюзье в Гарше в горизонтальном плане, в профиле и во внутренних структурах использует близкие к золотому прямоугольнику пропорции [6].
  • Флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику[7].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Euclid, Book XIII, Proposition 10.
  2. Burger, Starbird, 2005, с. 382.
  3. Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  4. Livio, 2002.
  5. Van Mersbergen, 1998.
  6. Padovan, 1999, с. 320.
  7. Flag of Togo. FOTW.us. Flags Of The World. Дата обращения 9 июня 2007. Архивировано 7 июня 2007 года.

Литература[править | править код]

  • Edward B. Burger, Michael P. Starbird. The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. — Springer, 2005. — ISBN 9781931914413.
  • Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — New York: Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5.
  • Audrey M. Van Mersbergen. Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic // Communication Quarterly. — 1998. — Т. 46. 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.
  • Le Corbusier. The Modulor. — С. 35., как цитировано у Падована Richard Padovan. Proportion: Science, Philosophy, Architecture. — Taylor & Francis, 1999. — С. 320. — ISBN 0-419-22780-6.: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
  • JoJo bizare adventure "Stell ball run"-Arraki-

Ссылки[править | править код]