Мнимая единица

Число $i$ на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен $-1$. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой $i$, в электротехнике — буквой $j$.

Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение $f(x)=0$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение $x^{2}+1=0$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом $i$ использовалось обозначение ${\sqrt {-1}},$ однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен $-1,$ — число $-i,$ в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

• числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1;
• i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений.

Степени мнимой единицы

Степени $i$ повторяются в цикле:

$\ldots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$\ldots$

что может быть записано для любой степени в виде:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

где n — любое целое число.

Отсюда: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$, где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина $i^{i}$, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел ($i^{i}\subset \mathbb {R}$):

$i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)},$ где $k\in \mathbb {Z} .$

При $k=0$ получаем число $e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635...,$ соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Доказательство

• Представим основание в виде комплексной экспоненты (в этом случае её показателем будет комплексный логарифм):

$z=i^{i}=\left(e^{\operatorname {Ln} i}\right)^{i}=\left(e^{\ln |i|+i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}$

Альтернативным путём является представление основания в показательной форме:

$z=i^{i}=\left(|i|e^{i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}$

Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.

Найдем модуль и аргумент числа $i$:

$i=0+1i=x+yi\quad \Rightarrow \quad x=0,y=1$

$|i|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1$

$\operatorname {Arg} i=\varphi +2\pi k$, где $k\in \mathbb {Z}$

$\varphi =\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\right)=\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)=\left[{\color {white}\vdots }\operatorname {arctg} (+\infty ){\color {white}\vdots }\right]={\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {Arg} i={\frac {\pi }{2}}+2\pi k$

Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для $z$:

$z=\left(e^{\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=\left(e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=e^{i^{2}\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}$

Таким образом, получаем:

$i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}$, где $k\in \mathbb {Z}$ ∎

И очевидно, что:

$i^{i}\subset \mathbb {R}$

• Теперь докажем, что число $e^{-{\frac {\pi }{2}}}$ является частным значением $i^{i}$, которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток $(-\pi ,\pi ]$):

$\varphi ={\frac {\pi }{2}}\in (-\pi ,\pi ]$

Подставляя его вместо $\operatorname {Arg} i$ в выражение для $z$, получим искомое частное значение:

$e^{-\varphi }=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635\ldots$ ∎

Также верно, что $(-i)^{(-i)}=i^{i}$.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Также

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564...,$

потому что |i!|² = i! i! = i! (i)! = Γ(1 + i) Γ(1 − i), что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ(i) Γ(1 − i), а затем по формуле дополнения Эйлера — как iπ/sin πi = π/sinh π.

Корни из мнимой единицы

Основная статья: Корень (математика)

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

В частности, $\{{\sqrt {i}}\}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};~{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ и $\{{\sqrt[{3}]{i}}\}=\left\{-i;~{\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};~{\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1.$

Иные мнимые единицы

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения $x^{2}=-1$.

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение — $i$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать $j$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: $i=i(t)$.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.

См.также

• Дуальные числа и двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексное число

Ссылки

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.