Интеграл

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т.п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить себе как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подинтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и т.д.; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и др.

Интеграл функции одной переменной

Неопределённый интеграл

Основная статья: Неопределённый интеграл

Пусть дана $f(x)$ — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции $f(x)$ или её первообразной называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$. Обозначается это так:

$F(x)=\int f(x)dx$

В этой записи $\int$ — знак интеграла, $f(x)$ называется подинтегральной функцией, а $dx$ — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную $C$, например

$\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C$

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

${\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C$

Определённый интеграл

Основная статья: Определённый интеграл

Интеграл как площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т.п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, ординатами $x=a$ и $x=b$ и графиком функции $y=f(x)$, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок $[a;b]$ на меньшие отрезки точками $x_{i}$, такими что $a=x_{1}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n+1}=b$, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками $[x_{i};x_{i+1}]$. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке $\xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]$. Ввиду того, что длина $i$-го отрезка $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ мала, будем считать значение функции $f(x)$ на нём примерно постоянным и равным $y_{i}=f(\xi _{i})$. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равно площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

$S\approx \sum _{i=1}^{n}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)$

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ($\max \Delta x_{i}\to 0$), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек $\xi _{i}$, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел назывется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции $f(x)$ по отрезку $[a;b]$ и обозначается

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке $[a;b]$. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

• непрерывные функции
• функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
• монотонные функции.

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при $x$ рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в ${\mathbb {R} }$, выбором точек $\xi _{i}$ можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до $b-a$.

Между определённым и неопредённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

$F(x)=\int f(x)dx$

то

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Эта равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл в пространствах большей размерности

Двойные и кратные интегралы

Основная статья: Двойной интеграл

Двойной интеграл как объём цилиндрического бруса

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру $D$ на плоскости $XY$ и заданную на ней функцию двух переменных $f(x,y)$. Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахожении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру $D$ на достаточно малые области $d_{i}$, возьмём в каждой по точке $\xi _{i}=(x_{i},y_{i})$ и составим интегральную сумму

$\sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})$

где $S(d_{i})$ — площадь области $d_{i}$. Если существует, независимо от выбора разбиения и точек $\xi _{i}$, предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции $f(x,y)$ по области $D$ и обозначается

$\int _{D}f(x,y)dS$, $\int _{D}f(x,y)dxdy$, или $\iint _{D}f(x,y)dxdy$

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

Криволинейный интеграл

Основная статья: Криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл

Основная статья: Поверхностный интеграл

Применение

К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела. Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью $\rho (x)$ даётся интегралом

$M=\int \rho (x)dx$

в аналогичном случае плоской фигуры

$M=\iint \rho (x,y)dxdy$

и для трёхмерного тела

$M=\iiint \rho (x,y,z)dxdydz$

Обобщения

Интеграл Лебега

Основная статья: Интеграл Лебега

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие $\sigma$-аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в ${\mathbb {R} }^{2}$, в ${\mathbb {R} }^{3})$.

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соотвествующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество $X$, на котором задана $\sigma$-аддитивная мера $\mu$, и функция $f:X\to {\mathbb {R} }$. При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, т.е. такие, для которых множества

$E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}$

измеримы для любого $a\in {\mathbb {R} }$ (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, т.е. таких, которые принимают конечное или счётное число значений $a_{i}$:

$\int _{X}fd\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))$

где $f^{-1}(a_{i})$ — полный прообраз точки $a_{i}$; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию $f$ назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию $f$ интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций $f_{n}$, равномерно сходящаяся к $f$. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции $f$ по мере $\mu$:

$\int _{X}fd\mu =\lim \int _{X}f_{n}d\mu$

Если рассматривать функции на ${\mathbb {R} }^{n}$ и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, т.к. равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Историческая справка

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла $\int ydx$, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ $\int$, от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма). Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде $\int _{a}^{b}$ введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

См. также

• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
• Виноградов И.М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Аналог Wolfram Integrator с подробным решением интегралов
• «Интеграл как умножение» — перевод статьи A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained  (англ.)