Ромб

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны (см. другие варианты определения).

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• Диагонали $p$ и $q$ ромба выражаются через сторону ромба $a$ и угол $\alpha$ между двумя смежными сторонами ромба как

$p=({\sqrt {1+\sin \alpha }}-{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}$;

$q=({\sqrt {1+\sin \alpha }}+{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}$.

Признаки

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник, все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом.

Параллелограмм $ABCD$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии.

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов.

Уравнение ромба

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке $\{x_{0},y_{0}\}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

${\frac {|x-x_{0}|}{a}}+{\frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,$

где $a,b$ — половины длин диагоналей ромба по осям $X,Y$ соответственно.

Длина стороны ромба равна ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$ Площадь ромба равна $2ab.$ Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

$2\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}$

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

$|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,$

где сторона квадрата равна $a{\sqrt {2}},$ а его диагональ равна $2a.$ Соответственно площадь квадрата равна $2a^{2}.$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S={\dfrac {AC\cdot BD}{2}}$

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

$S=a\cdot h$

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

$S=a^{2}\cdot \sin \alpha$,

где $\alpha$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол $\alpha$:

$S={\dfrac {4r^{2}}{\sin \alpha }};$

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

$S=2ar.$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:

$r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.$

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

• 
  Червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
• 
  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• 
  Ромбический орнамент
• 
  Ромбические звёзды
• 
  Более сложный орнамент
• 
  Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также

• Дельтоид
• Звезда (геометрия)
• Ромбододекаэдр
• Ромбоид
• Ромб (символ)

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.