Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике^[3] и в теоретической физике^[4]^[5]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6]. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.

Определение

Категория ${\mathcal {C}}$ — это:

класс объектов $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ ;
для каждой пары объектов $A$ , $B$ задано множество морфизмов (или стрелок) $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ , причём каждому морфизму соответствуют единственные $A$ и $B$ ;
для пары морфизмов $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ и $g\in \mathrm {Hom} (B,C)$ определена композиция $g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,C)$ ;
для каждого объекта $A$ задан тождественный морфизм $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$ ;

причём выполняются две аксиомы:

операция композиции ассоциативна: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ и
тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ для $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$

Малая категория

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\mathcal {C}}$ , в которой $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ является множеством и $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру^[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
Категория модулей.
DE — категория дифференциальных уравнений.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории ${\mathcal {C}}$ можно определить двойственную категорию ${\mathcal {C}}^{op}$ , в которой:

объекты совпадают с объектами исходной категории;
морфизмы получаются «обращением стрелок»: $\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g\in \mathrm {Hom} (B,A)$ , что $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ и $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$ . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $\mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $\mathrm {id} _{A}$ .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $\mathrm {Aut} (A)$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ такой, что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)$ из $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ следует, что $g_{1}=g_{2}$ . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ , что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)$ из $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ следует $g_{1}=g_{2}$ . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество

\varnothing

, терминальным — любое множество из одного элемента

\{\cdot \}

.

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект $A\times B$ с морфизмами $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ такими, что для любого объекта $C$ с морфизмами $f_{1}:C\to A$ и $f_{2}:C\to B$ существует единственный морфизм $g:C\to A\times B$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение $A+B$ объектов $A$ и $B$ . Соответствующие морфизмы $\imath _{A}:A\to A+B$ и $\imath _{B}:B\to A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств

A\times B

, а сумма — дизъюнктное объединение

A\sqcup B

.

Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение

A\otimes B

, а произведение — прямая сумма колец

A\oplus B

.

Пример: В категории Vect_K (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств

A\oplus B

.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов $\prod _{i\in I}A_{i}$ . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения $\prod _{i\in I}V_{i}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов $v_{i}\in V_{i}$ , в то время как элементами бесконечного копроизведения $\coprod _{i\in I}V_{i}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории ${\mathcal {C}}$ объект категории ${\mathcal {D}}$ и каждому морфизму $f:A\to B$ морфизм $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$ так, что

$F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)}$ и
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}^{op}$ (или из ${\mathcal {C}}^{op}$ в ${\mathcal {D}}$ ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму $f:A\to B$ он сопоставляет морфизм $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ , соответственным образом обращается правило композиции: $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$ .

Естественные преобразования

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если $F$ и $G$ — ковариантные функторы из категории $C$ в $D$ , то естественное преобразование $\eta$ сопоставляет каждому объекту $X$ категории $C$ морфизм $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ таким образом, что для любого морфизма $f:X\to Y$ в категории $C$ следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что $\eta _{X}$ — изоморфизм для любого $X$ .

Некоторые типы категорий

См. также

Примечания

↑ Хелемский, 2004.
↑ Rydeheard, Burstall, 1988.
↑ Голдблатт, 1983.
↑ Родин, 2010.
↑ Иванов.
↑ Category theory in Haskell.
↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats Архивная копия от 25 марта 2010 на Wayback Machine, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Ссылки

«Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy (англ.).
И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий? (рус.) Элементы (10 сентября 2008).
Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 23 августа 2011 года.

Литература

С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика (рус.). — Москва: Физматлит, 2004.
С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология (рус.). — Москва: Мир, 1966. — Т. 114. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории (рус.). — 1969. — Т. 06. — (ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия).
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1970.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1974.
Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов (рус.). — Москва: Мир, 1972. — С. 259.
Фейс [Faith C.] том 1 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 190. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
Фейс [Faith C.] том 2 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 191. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 35. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики (рус.). — 1983. — Т. 98. — (Studies in logic & foundation of mathematics).
Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями (рус.) / под ред. Бухштабер В. М.. — 1983. — Т. 33. — (Новое в зарубежной науке, математика).
Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра (рус.). — Москва: Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (Новое в зарубежной науке, математика). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory (англ.). — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic (рус.). — Москва: Мир, 1983. — 488 с.
Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.

[_dae02a400d1e3032-1] Хелемский, 2004.

[_63c98735a1c0f146-2] Rydeheard, Burstall, 1988.

[_6775d5c777cdf25c-3] Голдблатт, 1983.

[_b94476fe0b854d21-4] Родин, 2010.

[_620169fcff6260c0-5] Иванов.

[_2d3961fa53bff25d-6] Category theory in Haskell.

[JoyOfCats-7] J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats Архивная копия от 25 марта 2010 на Wayback Machine, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Теория категорий

Содержание