Четырёхмерный многогранник

Графы шести выпуклых правильных четырёхмерных многогранников

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
Пятиячейник 4-симплекс	Шестнадцати- ячейник Ортоплекс 4-ортоплекс	Тессеракт 4-куб
{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Октаплекс Двадцатичетырёхячейник	Додекаплекс Стодвадцатиячейник	Тетраплекс Шестисотячейник

В геометрии 4-мерный многогранник — это многогранник в четырёхмерном пространстве . Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек (3-мерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.

Двумерным аналогом 4-мерных многогранников является многоугольник, а трёхмерным аналогом является (трёхмерный) многогранник.

Топологически 4-мерные многогранники тесно связаны с однородными сотами, такими как кубические соты, замощающие 3-мерное пространство. Подобным образом трёхмерный куб связан с бесконечными двумерными квадратными сотами. Выпуклые 4-мерные многогранники могут быть разрезаны и развёрнуты в виде развёрток в 3-мерном пространстве.

Определение

4-мерный многогранник является замкнутой четырёхмерной фигурой. Он состоит из вершин (угловых точек), рёбер, граней и ячеек. Ячейка — это трёхмерный аналог грани и является (3-мерным) многогранником. Каждая (2-мерная) грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как рёбра трёхмерного многогранника соединяют ровно две грани. Подобно другим многогранникам элементы 4-мерного многогранника не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются 4-многогранниками, т.е. он не является составным.

Наиболее известным 4-мерным многогранником является тессеракт (гиперкуб), четырёхмерный аналог куба.

Визуализация

Примеры представления двадцатиячейника

Срез		Развёртка
Проекции
Шлегель	2D ортогональная	3D ортогональная

4-мерные многогранники невозможно представить в трёхмерном пространстве ввиду лишней размерности. Для визуализации используется ряд техник.

Ортогональная проекция

Ортоганальные проекции можно использовать для показа различных симметрий 4-мерного многогранника. Проекции можно представить в виде двумерных графов, а можно представить в виде трёхмерных тел в качестве проективных оболочек.

Перспективная проекция

Точно также как трёхмерные фигуры можно спроецировать на плоский лист, 4-мерные фигуры можно спроецировать в 3-мерное пространство или даже на плоскость. Распространённым видом проекции является диаграмма Шлегеля, использующая стереографическую проекциию точек на поверхности 3-сферы в трёхмерное пространстве, соединёнными в 3-мерном пространстве прямыми рёбрами, гранями и ячейками.

Срез

Точно также как разрез многогранника выявляет поверхность разреза, срез 4-мерного многогранника даёт «гиперповерхность» в трёхмерном пространстве. Последовательность таких срезов можно использовать для понимания всей фигуры. Лишнюю размерность можно приравнять ко времени для образования анимации этих сечений.

Развёртки

Развёртка 4-мерного многогранника состоит из многогранных ячеек, соединённых гранями и располагающихся в трёхмерном пространстве, точно так же как многоугольные грани развёртки трёхмерного многогранника соединены ребрами и располагаются все в одной плоскости.

Топологические характеристики

Тессеракт в виде диаграммы Шлегеля

Топология любого заданного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения

Значение эйлеровой характеристики, используемой для характеристики многогранников, не обобщается должным образом на высшие размерности и равна нулю для всех 4-мерных многогранников, какова бы ни была нижележащая топология. Это несоответствие эйлеровой характеристики для достоверного различения разных топологий в высоких размерностях ведёт к появлению более утончённых чисел Бетти .

Подобным образом понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики закручивания поверхностей тороидальных многогранников, что приводит к использованию коэффициентов кручения .

Классификация

Критерии

5-мерные многогранники можно классифицировать по свойствам, таким как "выпуклость" и "симметрия" .

• 4-мерный многогранник является выпуклым, если его границы (включая ячейки, (3-мерные) грани и рёбра) не пересекают себя (в принципе, грани многогранника могут проходить внутри оболочки) и отрезки, соединяющие любые две точки четырёхмерного многогранника содержатся полностью внутри него.. В противном случае многогранник считается невыпуклым. Самопересекающиеся 4-мерные многогранники известны также как звёздчатые многогранники по аналогии с похожими на звёзды формами невыпуклых многогранников Кеплера — Пуансо.
• 4-мерный многогранник является правильными, если он транзитивен относительно его флагов. Это значит, что все его ячейки являются конгруэнтными правильными многогранниками, а также все его вершинные фигуры конгруэнтны другому виду правильных многогранников.
• Выпуклый 4-многогранник является полуправильным, если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны (вершинно транзитивны) и ячейки являются правильными многогранниками. Ячейки могут быть двух и более видов, при условии, что они имеют один и тот же вид граней. Существует только 3 таких фигуры, найденные Торолдом Госсетом в 1900 — полноусечённый пятиячейник, полноусечённый шестисотячейник и плосконосый двадцатичетырёхячейник.
• 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны и ячейки являются однородными многогранниками. Грани (2-мерные) однородного 4-многогранника должны быть правильными многоугольниками.
• 4-многогранник является равнорёберным многогранником , если он вершинно транзитивен и имеет рёбра одной длины. То есть разрешаются неоднородные ячейки, например, выпуклые многогранники Джонсона.
• О правильном 4-мерный многограннике, являющемся к тому же выпуклым, говорят как о правильном выпуклом четырёхмерном многограннике.
• 4-мерный многогранник является призматическим, если он представляет собой прямое произведение двух и более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-мерный многогранник является однородным, если его сомножители в прямом произведении однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение двух квадратов или куба и отрезка), но рассматривается отдельно, поскольку он имеет более высокую симметрию, чем симметрии, унаследованные от сомножителей.
• мозаика или соты в трёхмерном пространстве — это разложение трёхмерного евклидового пространства на повторяющуюся решётку многогранных ячеек. Такие мозаики или замощения бесконечны и не ограничены "4D" объёмом, так что являются примерами бесконечных 4-многогранников. Однородная мозаика 3-мерного пространства — это мозаика, в которой вершины конгруэнтны и связаны кристаллографической группой, а ячейки являются однородными многогранниками.

Классы

Следующий список различных категорий 4-мерных многогранников классифицирован согласно критериям, изложенным выше:

Усечённый стодвадцатиячейник является одним из 47 выпуклых непризматических однородных 4-мерных многогранников

Однородный четырёхмерный многогранник (вершинно транзитивный):

• Выпуклые однородные 4-мерные многогранники (64, плюс два бесконечных семейства)
  • 47 непризматических выпуклых однородных 4-мерных многогранника включают:
    • 6 правильных 4-мерных могогогранников
  • Призматические однородные многогранники:
    • {} × {p,q} : 18 многогранных призм (включая кубические гиперпризмы, правильные гиперкубы)
    • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
    • {p} × {q} : Дуопризмы (бесконечное семейство)
• Невыпуклые однородные 4-мерные многогранники (10 + неизвестно)

  

  Большой великий стодвадцатиячейник, имея 600 вершин, является наибольшим из 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранников.

  • 10 (правильных) многогранников Шлефли—Гесса
  • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многонранниках
  • Неизвестное число невыпуклых однородных 4-мерных многогранников — Норман Джонсон и другие соавторы нашли 1849 многогранников (выпуклых и звёздчатых), все построены на вершинных фигурах с помощью программы Stella4D

Другие выпуклые 4-мерные многоранники:

• Многогранная пирамида
• Многогранная призма Polyhedral prism

Правильные кубические соты являются единственным правильным бесконечным 4-мерным многогранником в евклидовом 3-мерном пространстве.

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники в евклидовом 3-мерном пространстве (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)

• 28 выпуклых однородных сот (однородных выпуклых замощений), включая:
  • 1 правильное замощение, кубические соты: {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-многогранники гиперболического 3-мерного пространства (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)

• 76 визоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве, включая:
  • 4 правильных замощения компактного гиперболического 3-мерного пространства: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойственные однородные четырёхмерные многогранники (ячейно транзитивные):

• 41 единственно возможных двойственных однородных 4-мерных многогранника
• 17 единственно возможных двойственных однородных многогранных призм
• бесконечное семейство двойственных выпуклых однородных дуопризм (с неправильными тетраэдральными ячейками)
• 27 единственно возможных двойственных однородных сот, включая:
  • Ромбические додекаэдральные соты
  • Равногранные тетраэдральные соты

Другие:

• Структура Уэйра-Фелана периодических заполняющих пространство сот с неправильными ячейками

Одиннадцатиячейник являетсяis абстрактным правильным 4-мерным многогранником, существующим в вещественной проективной плоскости. Его можно представить, нарисовав его 11 полуикосаэдральных вершин и ячеек в цвете.

Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:

• Одиннадцатиячейник
• Пятидесятисемиячейник

Эти категории включают только 4-мерные многогранники с высокой степенью симметрии. Возможно существование многих других 4-мерных многогранников, но они не изучались столь интенсивно, как перечисленные выше.

См. также

• Правильный четырёхмерный многогранник
• 3-сфера является другой широко обсуждаемой фигурой, располагающейся в четырёхмерном пространстве. Но она не является 4-мерным многогранником, поскольку не ограничена многогранными ячейками.
• Дуоцилиндр является фигурой в 4-мерном пространстве, связанной с дуопризмами, хотя это тоже не многогранник.

Примечания

Литература

• T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — ISBN 978-3-540-85977-2.
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — ISBN 978-90-481-8580-1. — doi:10.1007/978-90-481-8581-8.
• H.S.M. Coxeter:
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• J.H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
• Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
• Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polychoron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedral formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler characteristics (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. *George Olshevsky
• Four dimensional figures page
• George Olshevsky Polychoron на Glossary for Hyperspace
• Uniform Polychora, Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer - Java3D Applet with sources
• Dr. R. Klitzing, polychora